Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Билет 1понятие функции способы задания функции.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

936.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают .
Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно .
Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как или (в силу симметричности данного отношения).

Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде .

то есть при функции и являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи и

При бесконечно малая величина имеет третий порядок малости относительно , поскольку , бесконечно малая — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.

Билет 5 конечные пределы и их свойства

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности x_n, n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается

Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом ε > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — ε, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + ε.

Предел функции. Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, само́й точки x₀. Функция f имеет П. в точке x₀, если для любой последовательности точек x_n, n = 1, 2,..., x_n ≠ x₀, стремящейся к точке x₀,последовательность значений функции f (x_n) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x₀, (или приx → x₀) при этом пишется

или

f (x) → A при x → x₀

В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x₀, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x₀, удовлетворяющих условию ∣х — x₀∣ < δ, x ≠ x₀,выполняется неравенство ∣f (x) — A∣ < ε.

Все основные элементарные функции: постоянные, Степенная функция х^α, Показательная функция a^x, Тригонометрические функции sinx,cosx, tgx и ctgx и Обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x²), 0 < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f(x) = 1 + x² при x ≠ 0. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же

x ≠ 0,

вовсе не имеет П. при х → 0, ибо уже для значений x_n= 1/(π/2 + πn) последовательность соответствующих значений функции f (x_n) = (-1) ⁿ не имеет П.

Если П. функции при х → х₀ равен нулю, то она называется бесконечно малой при х → х₀. Например, функция sinx бесконечно мала при х → 0. Для того чтобы функция f имела при х → х₀ П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = A + α(x), где α(х) является бесконечно малой при х →х₀

Если при определении П. функции f в точке x₀ рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x₀, то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается

Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

Например,

означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > δ, выполняется неравенство ∣f (x) - А∣ < ε.

Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции (См. Монотонная функция). Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x) = x х → 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x₀ П. в том и только в том случае, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек х' и х ", удовлетворяющих условию ∣х’ - x₀ ∣ < δ, ∣x " — x₀∣ < δ, x' ≠ x₀, x'’≠ x₀, выполняется неравенство ∣f (x " ) — f (x')∣ < ε.

Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида f называется бесконечно большой прих → х₀, При х → х₀ + 0 или При х → +∞ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -δ, выполняется неравенство f (x) > ε.

Билет 6 первый замечательный предел.

Первым замечательным пределом называется предел

Теорема 2.14 Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью ( ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть -- площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству