
- •Билет 3 Понятие предела Геометрический смысл предела
- •Билет4 Бесконечно малая и бесконечно большая
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •Сравнение бесконечно малых Определения
- •Примеры сравнения
- •Понятие о непрерывности функции.
- •Максимум и минимум функции.
- •Билет 15
- •Правила дифференцирования
- •Дифференцирование сложной и обратной функций
- •2. Нахождение асимптоты
- •Тейлора формула
- •Доказательство Отношение бесконечно малых
- •Отношение бесконечно больших
- •Примеры
Билет 1понятие функции способы задания функции.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости. Раздел 1. Функция и её свойства. Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменная х- независимая переменная или аргумент. Переменная у- зависимая переменная Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х. Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная. Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция. Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x) Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x) Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2) Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2) Раздел 2. Способы задания функции. Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически. На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Билет 2. основные элементарные функции и их графики
|
Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) |
|
Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0 |
|
Гипербола -
график функции |
|
Экспонента (показательная функция по основанию е) у = еx. (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс. |
|
Логарифмическая функция y = logax (a > 0) |
|
у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π |
|
у = а•sin(ωx+φ) - функция гармонических колебаний. Обозначения: а - амплитуда, ω - частота (ω = 2π/Т), φ - фаза (сдвиг). |
|
Косинусоида
у = cosx (графики
у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на |
|
Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках. |
|
Гауссиана у = Аe-(ax2). Кривая "нормального" закона распределения ошибок, у которого
σ 2 - дисперсия ошибки. Симметрия относительно оси у. |
|
у = secx - кривая "цепной линии", эту форму принимает абсолютно гибкая нить, подвешенная в параллельном поле тяжести. А полная функция периодична, и её асимптоты х = (2k -1), как у функции y = tgx. |
|
Круг с центром в точке (xo, yo) радиуса r. (x-xo)2 + (y-yo)2 = r2 |
|
Эллипсс центром в точке (xo, yo). Большая полуось а, малая b, эксцинтриситет
|
|
Затухающее колебание y = Ae-ax•sin(ωx+φ) |
Билет 3 Понятие предела Геометрический смысл предела
В
случае условия
эти
множества имеют вид
;
в случае
--
вид
;
в случае
--
вид
.
Назовём ихокончаниями базы предела
при данном условии, а полный набор таких
окончаний -- базой предела. Базу
предела будем обозначать так же, как
само условие, а именно,
,
,
и
т. п. Таким образом,
Итак,
база предела -- это набор окончаний,
которые должны удовлетворять таким
свойствам: все они непусты и если
и
--
два разных окончания (одной и той же
базы), то база должна содержать третье
окончание
,
которое содержится в каждом из первых
двух:
.
Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания -- непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами.
Произвольную
базу будем обозначать
,
а её окончания -- буквой
,
быть может, снабжённой индексами. Если
,
причём
,
то окончание
будем
называть более далёким, чем окончание
.
Например, для базы
окончание
более
далёкое, чем
,
если
;
для базы
окончание
является
тем более далёким, чем меньше число
.
Теперь дадим определение предела по заданной базе .
Определение 2.4
Пусть
--
некоторая база и функция
определена
во всех точках
некоторого
окончания
базы
(и,
значит, определена во всех точках более
далёких окончаний
).
Число
называется пределом
функции
по
базе
(или при
базе
)
и обозначается
если
для
любого (сколь угодно малого) числа
найдётся
такое окончание
базы
,
что при всех
выполняется
неравенство
Тот
факт, что
,
записывают ещё в виде
Нетрудно заметить, что в случае баз , и это общее определение предела, при соответствующей подстановке вида окончаний этих баз, означает ровно то же самое, что приведённые выше, в предыдущем разделе, частные определения пределов.
Геометрический
смысл данного определения предела
таков: на плоскости
,
на которой нарисован график функции
,
проведём горизонтальную полосу
ширины
вокруг
горизонтальной прямой
.
Тот факт, что
,
означает, что найдётся достаточно
далёкое окончание базы
,
на котором график функции целиком лежит
в этой полосе. При уменьшении ширины
полосы окончание, возможно, придётся
брать более далёким, но, всё равно, и в
любую более узкую полосу умещается
график на достаточно далёком окончании.
Рис.2.8.График функции, имеющей предел, умещается в любую узкую полосу на достаточно далёком Окончании
Билет4 Бесконечно малая и бесконечно большая
Бесконечно малая величина
Последовательность
называется бесконечно
малой,
если
.
Например, последовательность чисел
—
бесконечно малая.
Функция
называется бесконечно
малой в окрестности точки
,
если
.
Функция
называется бесконечно
малой на бесконечности,
если
либо
.
Также
бесконечно малой является функция,
представляющая собой разность функции
и её предела, то есть если
,
то
,
.