§ 155. Принцип суперпозиции.

Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется

одновременно несколько волн, линейна,

т. е. ее свойства не изменяются под дей-

ствием возмущений, создаваемых волной,

то к ним применим принцип суперпозиции

(наложения) волн: при распространении

в линейной среде нескольких волн каждая

из них распространяется так, как будто

другие волны отсутствуют, а результирую-

щее смещение частицы среды в любой

момент времени равно геометрической

сумме смещений, которые получают части-

цы, участвуя в каждом из слагающих во-

лновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции

и разложения Фурье (см. A44.5)) любая

волна может быть представлена в виде

суммы гармонических волн, т. е. в виде

волнового пакета, или группы волн. Вол-

новым пакетом называется суперпозиция

волн, мало отличающихся друг от друга

по частоте, занимающая в каждый мо-

мент времени ограниченную область про-

странства.

«Сконструируем» простейший волно-

вой пакет из двух распространяющихся

вдоль положительного направления оси

х гармонических волн с одинаковыми ам-

плитудами, близкими частотами и волно-

выми числами, причем dco-С со и

. Тогда

l=A0cos(a>t — kx) +

+А0 cos [(co + dco) t-(k + dk)x]=

= 2A0 cos

/ / dco— x dk\ . A , .

( l cos (со/ — kx).

Эта волна отличается от гармонической

тем, что ее амплитуда

/ dco —х dk

есть медленно изменяющаяся функция ко-

ординаты х и времени t.

За скорость распространения этой не-

гармонической волны (волнового пакета)

принимают скорость перемещения макси-

мума амплитуды волны, рассматривая

тем самым максимум в качестве центра

волнового пакета. При условии, что

/dco — xdfc = const, получим

d* dco

Скорость и есть групповая скорость. Ее

можно определить как скорость движения

группы волн, образующих в каждый мо-

мент времени локализованный в простран-

стве волновой пакет. Хотя выражение

A55.1) получено для волнового пакета из

двух составляющих, можно доказать, что

оно справедливо в самом общем случае.

Рассмотрим связь между групповой

м = ^— (см. A55.1)) и фазовой и = ш/А:

dk

(см. A54.8)) скоростями. Учитывая, что

к = 2п/к (см. A54.3)), получим

dco d(vk) , , dv

или

dv dk

u = v — к

dv

dk'

dv

A55.2)

Из формулы A55.2) вытекает, что и мо-

жет быть как меньше, так и больше v в за-

dv n

висимости от знака -j—. В недиспергирую-

Ак'

dv

щей среде —тт-=0 и групповая скорость

dA,

совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень

важно, так как именно она фигурирует при

измерении дальности в радиолокации,

в системах управления космическими

объектами и т. д. В теории относительно-

сти доказывается, что групповая скорость

и^.с, в то время как для фазовой скоро-

сти ограничений не существует.