1.Случайное событие. Определен

. Пусть эксперимент, может быть, проведен в одних условиях неограниченное количество раз. Результатом каждого испытания - событием. В теории вероятностей речь идет о испытаниях, исход которых неизвестен, то соответству­ющие события называют случайными событиями. случайное событие - событие, которое может произойти, а может и не произойти.

Вероятностью Р(А) случайного события А назы­вается отношение количества т элементарных событий, благо­приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п: Р(А)=m/n

Поскольку в общем случае 0≤т≤п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайно­го события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е. 0≤Р(A) ≤1

. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А устанавливается около определенного значения , которое принимается за вероятность А.. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается Р*(А)=m_A\n

где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А; n - общее число экспериментов.

Случайные события называются несовместными, если осуществление любого из них исключает осуществление других событий.

Случайные события называются совместными, если осуществление любого из них не исключает осуществления других событий.

Случайные события называются незави­симыми, если вероятность осуществления каждого из них не зависит от того, осуществилось ли другое событие

Случайное событие В называется зависимым от случайного события А, если вероятность осуществления события В зависит от того, произошло ли событие А.

2Теоремы сложения и умнож

Если случайные события А и В являются несовместными собы­тиями, то справедлива теорема сложения.

Теорема.1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероят­ностей этих событий:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В)

Теорема .2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события А* равна единице: P(A)+P(Ā*)=1 Случайное событие А*, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, про­тивоположным событию А.

Если случайные события А и В являются независимыми со­бытиями, то справедлива следую­щая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для независимых событий.

Теорема .3. Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А и В) = P(A)*P(B)

Определение. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).

Если случайные события А и В являются зависимыми событиями, причем, событие В зависит от события А, то справедлива теорема умноже­ния вероятностей для зависимых событий.

Теорема.4. Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероят­ности события А на условную вероятность события В: Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А)

3 Распределение дискретных случайных

Случайной величиной, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений.

Случайная величина – дискретна , совокупность всех ее возможных значений представляет собой обязательно счетное множество значений,

На практике закон распределения изучаемой величины часто неизвестен, для описания определенных особенностей этой величины используют ее так называемые основные числовые характеристики, из ко­торых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратическое отклонение (стандарт).

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной ве­личины X называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: М(Х)= μ= ∑x_ip_i= x₁p₁+x₂p₂+…x_np_n

Некоторые свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине: М(С) = С.

2. Математическое ожидание произведения постоянного мно­жителя на дискретную случайную величину равно произведе­нию этого постоянного множителя на математическое ожида­ние данной случайной величины: М(kХ)=k*M(X)

3. Математическое ожидание суммы двух случайных вели­чин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М(Х +Y) = М(Х) + М(Y).

Дисперсией D(Х) дискретной случайной величины называется ма­тематическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D(Х) = М((Х- μ)²). на практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле D(Х) = М( X²)-μ²

Некоторые свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:D(C)=0

2. Дисперсия произведения постоянного множителя Ь на дис­кретную случайную величину равна произведению квадрата этого постоянного множителя на дисперсию данной случайной величины: D(kX)=k²*D(X)

Как следует из определения дисперсии дискретной случайной величины, ее размерность равна квадрату размерности самой случайной величины. Например, размерность дисперсии, вычис­ленной в примере 8.8, есть «студент²».

Наряду с дисперсией в качестве числовой характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания часто ис­пользуют ее среднее квадратическое отклонение (иногда назы­ваемое стандартным отклонением или просто стандартом), размерность которого совпадает с размерностью случайной вели­чины.Средним квадратическим отклонением диск­ретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии: σ(X)= √D(X)