Непрерывность элементарных функций

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 + ... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале  . Частное двух многочленов   непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале  . Ее значения заполняют весь интервал  . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция  . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при  , и принимает любое значение из  . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция  . При возрастании x от 0 до   возрастает   или убывает   на интервале  . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции  ,  ,  ,  ,  ,  . Остановимся на функции  . Ее непрерывность на отрезке   вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку  . Следовательно, функция   непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции  . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций  . Исключение для первых двух функций - значения x вида  , при которых  , для других двух - значения вида  , при которых  .

Обратные тригонометрические функции  ,  ,  ,  . Первые две непрерывны на  , остальные - на 

12.Точки разрыва функции, их классификация.

Точка   называется точкой разрыва функции  , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки   (то есть определена на некотором интервале, для которого   служит внутренней точкой, но в самой точке  , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева  ;

2) не существует предела справа  ;

3) пределы слева   и справа   существуют, но не равны друг другу:  ;

4) пределы слева   и справа   существуют и равны друг другу:  , но не совпадают со значением функции в точке  :  , или функция   не определена в точке  .

Классификация:

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

13.Непрерывность функций на интервале, на отрезке. Формулировка свойств функций непрерывных на отрезке.

   -- некоторая функция,   -- её область определения и   -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с   и/или  )⁷. Назовём функцию   непрерывной на интервале  , если   непрерывна в любой точке  , то есть для любого   существует   (в сокращённой записи: 

Пусть теперь   -- (замкнутый) отрезок в  . Назовём функцию   непрерывной на отрезке  , если   непрерывна на интервале  , непрерывна справа в точке   и непрерывна слева в точке  , то есть           

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] 

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).

14. Производная функции действительного переменного , ее геометрический и механический смысл. Касательная и нормаль к кривой. Односторонние производные. Необхожимые условия существования производной.