Предел функции по Гейне

З начение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой последовательности точек  , сходящейся к  , но не содержащей   в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции   сходится к  .

Предел функции по Коши

З начение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа   найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .

Окрестностное определение по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой окрестности   точки   существует выколотая окрестность   точки   такая, что образ этой окрестности   лежит в  . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, которая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

означает, что для любого М > 0 найдется такое δ = δ (M) > 0, что для всех z < - δ выполняется неравенство f(x) > M.

Односторо́нний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Односторонний предел по Гейне

• Ч исло   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, больших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу  .

• Ч исло   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, меньших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу  .

Односторонний предел по Коши

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа  отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякого положительного числа  отыщется отвечающее ему положительное число  , такое, что для всех точек   из интервала   справедливо неравенство  .

8. Основные теоремы о пределах функций (о пределе суммы, произведения и частного функций, о пределе функций, связанных неравенствами, о пределе сложной функции).

Т еорема. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

. Доказательство. Пусть  ,   ,    .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

 где   - б.м. при .

С ложим алгебраически эти  равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где  б.м. при   .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Т еорема. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,

причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

,   .

Теорема. (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке  , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Теорема. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функцииg(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

 Þ  .

9 . Замечательные пределы

Первым замечательным пределом называется предел вида

Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела   и   и докажем, что каждый из них равен 1. Двусторонний предел   также будет равняться 1.

И так, пусть   (этот интервал -- одно из окончаний базы  ). В тригонометрическом круге (радиуса  ) с центром   построим центральный угол, равный  , и проведём вертикальную касательную в точке   пересечения горизонтальной оси с окружностью ( ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона   с окружностью буквой  , а с вертикальной касательной -- буквой  ; через   обозначим проекцию точки   на горизонтальную ось. 

Пусть   -- площадь треугольника  ,   -- площадь кругового сектора  , а   -- площадь треугольника  . Тогда очевидно следующее неравенство:

З аметим, что горизонтальная координата точки   равна  , а вертикальная --   (это высота треугольника  ), так что  . Площадь центрального сектора круга радиуса   с центральным углом   равна  , так что  . Из треугольника   находим, что  . Поэтому   Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на  ) так:

  Вторым замечательным пределом называется предел вида

Д оказательство.    

Докажем вначале теорему для случая последовательности 

П о формуле бинома Ньютона: 

Полагая  , получим:

      

 

И з данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число   убывает, поэтому величины   возрастают. Поэтому последовательность   — возрастающая, при это

П окажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

У силим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

С умму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

П оэтому 

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом   выполняются неравенства (2) и (3)

   .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность   монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. 

10. Сравнение функций. О и о символика. Эквивалентные бесконечные малые функции и их свойства.

Сравнение бесконечно малых функций

1)   , т.е. предел отношения функций существует и он равен нулю, в этом случае говорят, что p(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать p(x) = o(q(x)).

2)   , т.е. предел отношения функций существует и он равен С - некоторой константе, в этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно малые функции одного порядка и принято обозначать p(x) = O(q(x)).

3) Если данный предел:   не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.

4)  , т.е. предел отношения функций существует и он равен бесконечности, в этом случае говорят, что g(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать q(x) = o(p(x)).

Сравнение бесконечно больших функций

1)  , т.е. предел отношения функций существует и равен бесконечности. В этом случае говорят, что p(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.

2)  , т.е. предел отношения функций существует и равен С - некоторой константе. В этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно большие функции одного порядка.

3)  , т.е. предел отношения функций существует и равен нулю. В этом случае говорят, что q(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.

4) Если данный предел:   не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции несравнимы.

O» большое и «o» малое (  и  ) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также в информатике и теории алгоритмов.

, «о малое от  » обозначает «бесконечно малое относительно  »^[1], пренебрежимо малую величину при рассмотрении  . Смысл термина «О большое» зависит от его области применения, но всегда   растёт не быстрее, чем  , «O большое от  » (точные определения приведены ниже).

В частности:

• фраза «сложность алгоритма есть O(n!)» означает, что с увеличением параметра n, характеризующего количество входной информации алгоритма, время работы алгоритма растёт не быстрее, чем пропорционально n!;

• фраза «функция   является „о“ малым от функции   в окрестности точки  » означает, что с приближением   к     уменьшается быстрее, чем  (отношение   стремится к нулю).

Важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. sinx~х при х→0;

2. tgx~х (х→0);

3. arcsinх ~ х (х→0);

4. arctgx~х (х→0);

5. 1-cosx~x²/2 (х→0);

6. е^х-1~х (х→0);

7. α^х-1~х*ln(a) (х→0);

8. ln(1+х)~х (х→0);

9. log_a(l+х)~х•log_aе (х→0);

10. (1+х)^k-1~k*х, k>0 (х→0);

• Если  , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем  . Обозначают  .

• Если  , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем  . Соответственно  .

• Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.Это обозначается как   или   (в силу симметричности данного отношения).

• Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет  -й порядок малости относительно бесконечно малой  .

11.Функции действительного переменного, непрерывные в точке, их свойства. Непрерывность элементарных функций.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀ (включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0  f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

" O( f(x0) )     $ O(x0) :     x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0) ) .

Теорема 1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.  Доказательство. Пусть функции     и     непрерывны в точке  a. Тогда Согласно свойству пределов функций существование пределов функций     и     гарантирует существование предела их суммы. При этом что и требовалось доказать.  Теорема 2. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.  Теорема 3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.  Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.  Теорема 5. Пусть функция     непрерывна на промежутке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда на этом промежутке существует такая точка  c, в которой   .