1. Множество в Rn. Открытые, замкнутые и ограниченные множества. (Универсальное множество – ω; дополнение; открытые, замкнутые и ограниченные множества)

Множество – это совокупность некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a – элемент множества A, то используется запись aєA. Если b не является элементами множества A, то пишут b A.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называется подмножеством A и обозначается BсA.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. C = AUB.

Пересечением двух множеств A и B называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств A и B, т.е. D = AÛB.

Разностью множеств A и B называется множество E, состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B, т.е. E = A \ B.

Дополнением множества AcB называется множество A^c , состоящее из всех элементов множеств B, не принадлежащих A.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Геометрически множество R изображается точками числовой прямой, т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчёта, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определённое действительное число.

Множество X, элементы которого удовлетворяют неравенству a≤x≤b, называют отрезком или сегментом, [a, b]; неравенству a<x<b– интервалом (a, b); неравенствам a≤x<b или a<x≤b – полуинтервалами соответственно [a, b) и (a, b]. Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы (-;a), (b, +), (-, +), (-, a], [b, +).

2. Полярная система координат. Связь полярных координат с декартовыми. Примеры линий в полярной системе координат.

Полярная система координат – двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом.

Пару полярных координат r и μ можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса: x=rcosμ, y=rsinμ, в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r: r²=y²+x²(по теореме Пифагора).

Окружность. Общее уравнение окружности с центром (r₀, Ѳ) и радиусом a имеет вид: r²-2rr₀cos(μ-Ѳ)+r₀²=a².

Прямая. Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением μ=Ѳ, где Ѳ – угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, Ѳ=arctgm, где m – наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую μ=Ѳ в точке (r₀, Ѳ) определяется уравнением r(μ)=r₀sec(μ-Ѳ).

Полярная роза. r(μ)=acos(kμ+Ѳ₀), для произвольной постоянной (включая 0).

Спираль Архимеда. r(μ)=a+bμ.