Показательные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Пример. Решите неравенство 22x+1−7 10x+52x+1 0 

Решение: 22x+1−7 10x+52x+1 0   22x 2−7 2 5 x+52x 5 0   т.к 5x 0 , то можно разделить на  5x 2 0  обе части неравенства 2 2x 2−7 2 5 x+5 5x 2 0 , получим  5x 22 2x 2− 5x 27 2 5 x+ 5x 25 5x 2 0   2 5x2x 2−7 5x2x+5 0 . Пусть y= 52 x , тогда получим систему  52 x  y 0 2y2−7y+5 0  . Решая уравнение 2y2−7y+5=0  получим корни y1=1 y1=25. Решением системы будет 1 y 25. Вернемся к замене 1 52 x 25  и решим систему  52 x 1   52 x 25              0 52 1  x 0  x −1    x −1;0  

Ответ: x −1;0  

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am+n=am an 

• Свойство степени, основанием которой является степень: am n= am n= an m a 0 

• Свойство степени произведения положительных чисел:  a b n=an bn a 0 b 0 

• Свойство равносильности неравенств: f(x) g(x) mf(x) mg(x)  m 0    

• Свойство частного степеней с одинаковыми показателями степени: bnan= ba n a 0 b 0 

• Основное свойство дроби: ba=b:ma:m=b ka k m k =0

• Свойство степени с нулевым показателем: a0=1 a =0 

• Свойство степени с отрицательным показателем:  ba −n= ab n n Z 

• Свойство равносильности показательных неравенств: af(x) ag(x) 0 a 1  f(x) g(x)    

• Свойство равносильности показательных неравенств: af(x) ag(x) 0 a 1  f(x) g(x)    

Логарифмы

Определение логарифма Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Десятичные логарифмы (логарифмы по основанию 10) обозначаются как Натуральные логарифмы (логарифмы по основанию е) обозначаются как Числом е в математике принято обозначать предел, к которому стремиться выражение Число е является иррациональным числом — числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом. Буква е — первая буква латинского слова exponere — выставлять напоказ, отсюда в математике названиеэкспоненциальная — показательная функция. Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты. Свойства логарифма Действия с логарифмами логарифм произведения: логарифм частного: логарифм степени: логарифм корня: переход к новому основанию: Дополнительные формулы:

Логарифм. Основное логарифмическое тождество Вернемся к уравнению ах = b, где а>0 и а≠1. Как показано в предыдущем пункте, это уравнение не имеет решений при b≤0 и имеет единственный корень в случае b>0. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают logab, т. е. аlogab = b. Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Формулу аlogab = b (где b>0, а>0 и а≠1) называют основным логарифмическим тождеством.