Экстремумы функции

Определение 1. Точка   называется точкой максимума [точкой минимума] функции  , если существует такая  - окрестность   точки  , что для всех значений   из этой окрестности выполняется неравенство    .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называетсямаксимумом (минимумом) функции  .

Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремумафункции  , а значения функции в этих точках — экстремумами функции  .

Теорема 1. Если функция   непрерывна в точке  , а   на промежутке   и   на промежутке  , то   является точкой максимума функции  .

Теорема 2. Если функция   непрерывна в точке  , а   на промежутке   и   на промежутке  , то   — точка минимума функции  .

Теорема 3 (Ферма). Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и дифференцируема в этой точке. Если   — точка экстремума функции  , то  .

Теорема 4. Пусть функция   дифференцируема в некоторой окрестности точки  , кроме, быть может, самой точки  , и непрерывна в точке  . Тогда, если   меняет знак с « » на « » (с « » на « ») при переходе через точку  , то   — точка минимума (точка максимума) функции  .