Основные понятия и свойства функций
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция. монотонная функция. убывающая функция. возрастающая функция, ограниченная функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e.она также принимает только действительные значения.
Множество X всех допустимых действительных значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция,называется областью значений функции.
Теперь можно дать более точное определение функции:
правило(закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.
|
|
Функция считается заданной, если:
задана область определения функции X ;
задана область значений функции Y ;
известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.
Если для любых двух значений аргумента x1и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f (x ) называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2)< f (x1),то функция f (x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
Функция
называется ограниченной,
если существует такое положительное
число M,
что |f
( x )|
M для
всех значений x .
Если
такого числа не существует, то функция
- неограниченная.
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = a, если :
функция определена при x = a, т.e. f (a) существует;
существует конечный предел limx
af(x);f (a) = limx af(x) .
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a. Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.
Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f (-x) = - f (x), то функция называется нечётной.
График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции.
Все тригонометрические функции являются периодическими.
Пример
1. Доказать, что sin x имеет период
2
.
Решение.
Мы знаем, что sin ( x+ 2
n
) = sin x, где n = 0, ± 1, ± 2, …
Следовательно,
добавление 2
n
к аргументу синуса не меняет его
значениe.
Предположим,
что P – такое число, т.e. равенство: sin (
x+ P ) = sin x, справедливо для любогозначения
x.
Но
тогда оно имеет место и при x =
/
2 , т.e. sin (
/
2 + P ) = sin
/
2 = 1.
Но
по формуле приведения sin (
/
2 + P ) = cos P.
Тогда
из двух последних равенств следует,
чтоcos P = 1, но мы знаем, что это верно лишь
при P = 2
n.
Так
как наименьшим отличным от нуля числом
из 2
n
является 2
,
то это число и есть период sin x.
Рассмотрим
sin 2x = sin ( 2x + 2
n
) = sin [ 2 ( x +
n
) ] .
Мы
видим,что добавление
n
к аргументу x, не меняет значение
функции.
Наименьшее
отличное от нуля число из
n
есть
,
таким образом, это период sin 2x .
Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём (корнем) функции.
Функция может иметь несколько нулей.
Например, функция y = x (x + 1)(x-3) имеет три нуля: x = 0, x = - 1, x =3.
Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .
На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .
Нули функции. Особые точки |
|
|
|
Нули
функции. Рассмотрим функцию
Если Значение
Где Особые
точки. Особой точкой функции Для
того, чтобы точка
Точку Точка
является нулем порядка Полюс называют простым. Для
того, чтобы точка
Где Точка Функция Справедливы следующие утверждения. 1.
Точка 2.
Точка
Наибольший
из показателей степени разности Совпадает с порядком полюса. 3.
Точка Пример
37.31. Доказать, что точка Рядка
для функции Разложим
в ряды данную функцию и ее первую и
вторую производные: Поскольку При Пример
37.32. Найти порядок нуля Использовав
разложение функции
Таким
образом, функция _ Четвертого порядка для данной функции. Пример
37.33. Найти нули функции Когда Равенства
следует, что Пусть
Точке Третьего
порядка. Аналогично доказывается,
что
Это
нули первого порядка для функции
Пример
37.34. Доказать, что точка
Действительно,
поскольку
Пример
37.35. Найти полюсы функции Так
как для функции Нули
первого порядка,
Замечание.
Если Не
имеющие общих корней, то корни
многочлена Ветствующих
корней многочлена
То
Поскольку То
функция имеет особые точки
Где
Заключаем,
что Пример
37.37. Найти особые точки функции Лить их типы. Принимая во внимание, что (см. (37.3))
При
Этот
ряд сходится всюду, кроме точки Разложение
функции Главная
часть ряда имеет бесконечное множество
членов, то точка |
Аналитическую
в точке
Точка
называется
нулем функции
Порядка
(или кратности)
Когда
выполняются условия:
(37.47)
То
точка
Называется
простым нулем.
Тогда
и только тогда является нулем и-го
порядка функции f(z), аналитической в
точке
Когда
в некоторой ее окрестности верно
равенство
(37.48)
-
функция, аналитическая в точке
И
Называется
точка
В
которой эта функция не является
аналитической. Точка
Называется
изолированной особой точкой функции
,
когда существует окрестность этой
точки, в которой
Аналитическая
всюду, кроме
.
Особая точка
Функции
Называется
устранимой, когда существует конечный
предел этой функции в данной
точке: 
Точка
Называется
полюсом функции
Когда
Была
полюсом функции
Необходимо
и достаточно, чтобы эта точка была
нулем. функции
(37.49)
Называют
полюсом порядка
Функции
,
когда эта
Для
функции
В
случае
Являлась
полюсом порядка
Функции
,
необходимо и достаточно, чтобы
функцию
Можно
было привести к виду
(37.50)
-
функция, аналитическая в точке
И
Называется
существенно особой точкой функции
Когда
в ней
Не
имеет ни конечного ни бесконечного
предела.
Является
устранимой особой точкой функции
Тогда
и только тогда, когда ее лорановское
разложение в окрестности точки
Не
содержит главной части.
Является
полюсом функции
Тогда
и только тогда, когда главная часть
ее лорановского разложения в окрестности
точки
Содержит
только конечное число членов:
(37.51)
В
знаменателях
Является
существенно особой точкой функции
Тогда
и только тогда, когда главная часть
ее лорановского разложения в окрестности
точки
Содержит
бесконечное множество членов.
Является
нулем второго по
Т.
е. выполняются условия (37.47)
,
то
—
нуль второго порядка для функции
Для
функции
В
ряд Тейлора, получим
.
j записана в виде (37.48), где
-
функция, аналитическая в точке
Причем
Значит,
точка
-
нуль
И
определить их порядки.
Или
То
Либо
Из
первого
А
со второго, что
Тогда
функцию
Можно
представить в виде (37.48):
Где
функция
Является
аналитической в
Причем
Значит,
точка
Есть
нуль
—нуль
третьего порядка. Функция
Имеет
нули
Действительно,
Но
Ибо
Для
функции
Является
устранимой особой точкой.
То
—
устранимая особая точка.
Точки
-
—нули
второго порядка, то для функции
Точки
—
полюсы первого порядка, точки
-
полюсы второго порядка.
,
где
И
-
многочлены,
(и
только они) являются полюсами
функции
Порядок
полюсов
Совпадает
с кратностью соот
Например,
когда
-
простой полюс,
—
полюс второго порядка,
-
полюс третьего порядка Пример 37.36.
Исследовать особые точки функции
Исследуем
точку
Функцию
Приведем
к виду (37.50):
-
функция, аналитическая в окрестности
точки
Причем
Следовательно,
точка
Является
полюсом второго порядка. Аналогично,
записав функцию
В
виде
-
простой полюс данной функции.
И
опреде
Получим
Его
можно рассматривать как
В
ряд Лорана в окрестности точки
Поскольку
является
существенно особой точкой для функции