32Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.

Язык логики первого порядка строится на основе сигнатуры, состоящей из множества функциональных символов F и множества предикатных символов P. С каждым функциональным и предикатным символом связана арность, то есть число возможных аргументов. Допускаются как функциональные, так и предикатные символы арности 0. Первые иногда выделяют в отдельное множество констант. Кроме того, используются следующие дополнительные символы

Символы переменных (обычно и т. д.),

Пропозициональные связки: ,

Кванторы: всеобщности и существования ,

Служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами из P и F образуют Алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно:

Терм есть символ переменной, либо имеет вид где f — функциональный символ арности n, t1 tn термы. А́рность предиката количество их аргументов, или операндов.

Атом имеет вид , где р — предикатный символ арности n , а , t1 tn — термы.

Предикатные формулы строятся с помощью логических операций и скобок.

33Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.

• Пусть P(x) — предикат, определенный на M

• «для всех x из M P(x) истинно» обозначается "x P(x) Знак "x называется квантором общности; другое его обозначение (x).

• Высказывание «существует такой x из M, что P(x) истинно» обозначается $x P(x). Знак $ x называется квантором существования.

• Переход от P(x) к "x P(x) или $x P(x) называется связыванием переменной x, а также навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P), иногда — квантификацией переменной x.

• Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной; несвязанная переменная называется свободной.

34Численные кванторы. Ограниченные кванторы.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Предика́т (n-местный, или n-арный) — это функция с областью значений {0,1} (или «Истина» и «Ложь»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждую n-ку элементов M он характеризует либо как «истинную», либо как «ложную».

В математике часто встречаются выражения вида «по меньшей мере n» («хотя бы n»), «не более чем n», «n и только n», где n– натуральное число. Эти выражения, называемые численными кванторами. Огрниченный квантор- квантор, используемый для характеризации предикатов не на всей области изменения данной предметной переменной, а на ее части, выделяемой нек-рым предикатом R(х). При использовании в качестве О. к. всеобщности квантор и существования.

35Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.

Предикатом называется предложение, содержащее одну или несколько переменных, при подстановке в которые конкретных значений, предложение обращается в высказывание. ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Две формулы А и В являются равносильными на области М, если они принимают одинак логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М. Иначе, предикаты P(x₁, …,x_n) и Q(x₁, …,x_n) равносильны тогда и только тогда, когда P⁺ = Q⁺. Предикат Q(x₁, …,x_n) заданный над множествами M₁ , M₂,… , M_n называется следствием предиката P(x₁, …,x_n), заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех тех наборах значение предметных переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание превращается предикат P(x₁, …,x_n).

Иначе, предикат Q является следствием предиката P (P Þ Q) тогда и только тогда, когда P⁺ Í Q⁺.

36Семантика языка логики предикатов, интерпретация формул. Три ситуации при логической интерпретации формул логики предикатов. Проблемы получения истинных формул и проверки формулы на истинность. Эквивалентные соотношения логики предикатов.

Превращение формулы логики предикатов в высказывание при подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, определенных на некотором выбранном множестве M, и, далее, вместо предметных переменных конкретных предметов, называется интерпретацией этой формулы на множестве M.

• 1. Если в М для F существует такая интерпретация, что F становится истинным (ложным) высказыванием, то формула F называется выполнимой (опровержимой) в области М. Если существует область М, где F выполнима, то F называется просто выполнимой.

• 2. Если формула F выполнима в М при любых интерпретациях, то она называется тождественно истинной в М. Формула, тождественно истинная в любых М называется тождественно истинной или общезначимой или тавтологией.

• 3. Если формула F невыполнима в М, она называется тождественно ложной в М. Если F невыполнима ни в каких М, она называется тождественно ложной или противоречием.

• Формулы называются эквивалентными, если при любых подстановках констант они принимают одинаковые значения.

37Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.

Приведенной формой для формулы логики предикатов называется такая равносильная ей формула, в которой из операций алгебры высказываний имеются только операции Ø, Ù, Ú, причем знаки отрицания относятся лишь к предикатным переменным и к высказываниям.

Теорема 1. Для всякого предиката существует равносильная ему приведенная нормальная форма.

Доказательство. Действительно, все операции в данной предикатной формуле можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (например, в виде ДНФ). Если после этого некоторые отрицания будут относиться к частям формулы, содержащим кванторы, то отрицания можно “снять” с кванторов согласно равносильностям, а “снять” отрицания с конъюнкций и дизъюнкций можно, следуя законам де Моргана. После всех описанных преобразований предикат, очевидно, будет представлен в приведенной форме.

38Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.

Предваренной нормальной формой (ПНФ) для формулы логики предикатов называется такая ее приведенная форма, в которой все кванторы стоят в ее начале, а область действия каждого из них распространяется до конца формулы, т.е. это формула вида (Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Q_mx_m)(F(x₁, …, x_n)), где Q_i есть один из кванторов " или $ (i = 1,…,m), m £ n, причем (F(x₁, …, x_n) не содержит кванторов и является приведенной формулой.

• 1) Используя формулы P₁ ~ P₂ = (P₁ ® P₂) & (P₂ ® P₁), P₁ ® P2 = Ø P₁ Ú P₂

заменить ®, « на &, Ú, Ø.

• 2) Спустить символы отрицания непосредственно на символы предикатов

• 3) Для формул, содержащих подформулы вида "xP₁(x) Ú "xP₂(x), $xP₁(x) Ú $xP₂(x),

ввести новые переменные, позволяющие использовать эквивалентные соотношения

• 4) С помощью эквивалентных соотношений получить формулы в виде ПНФ

39Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.

Формула А логики предикатов называется выполнимой в области М, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М, при которых формула А принимает истинные значения. Формула А называется тождественно истинной в области М, если она принимает истинные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области. Формула А называется общезначимой, если она тождественно истинная на всякой области.

Не существует алгоритма, позволяющего распознать общезначимость, нейтральность или невыполнимость произвольной формулы исчисления предикатов. Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном множестве("x)($y)(P(x, y)) Ù ("x)(ØP(x, х)) Ù ("x)("y)("z)[(P(x, y) Ù P(y, z)) ® P(x, z)].

40Методы доказательства в логике предикатов.

• Метод интерпретаций или методом моделей — доказательство формул, содержащих переменные, путем непосредственной постановки в них констант.

• Множество истинных формул порождается из исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур — правил вывода.

• Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называют финитными.

• Множества, порожденные такими формальными методами, называются формальными системами.

41Исчисление предикатов как формальная система. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учета смыслового содержания, то есть семантики. Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Предикатом называется предложение, содержащее одну или несколько переменных, при подстановке в которые конкретных значений, предложение обращается в высказывание. ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Исчисление предикатов — это общее название формальных систем, служащих для формализации логических умозаключений, в которых учитывается как логическая структура суждений (то есть каким образом данное суждение получено из других с помощью логических операций), так и их субъектно-предикатная структура, то есть связь между субъектом суждения (о чем говорится в данном суждении) и предикатом (что говорится о субъекте). При этом для логического анализа суждений наряду с такими логическими операциями, как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание, используются кванторы, а субъектно-предикатная структура уточняется с помощью понятия предиката.

Выводом формулы G в исчислении предикатов называется конечная последовательность формул B₁, . . .,  B_m такая, что каждая из формул B_i либо есть аксиома, либо получается из некоторых предшествующих ей формул по одному из перечисленных правил вывода, и B_m совпадает с G. Формула G выводима в исчислении предикатов, или является теоремой, если можно построить вывод этой формулы.

Правило переименования свободных переменных

Из выводимости формулы F(x), содержащей свободные вхождения x, ни одно из которых не находится в области действия квантора по у, следует выводимость F(y).

• 1) |– F(x) — по условию

• 2) F(x) ® (G ® F(x)) — А1, в качестве G выбираем любую доказуемую формулу, не содержащую свободных вхождений x.

• 3) (G ® F(x)) — из 1 и 2 по МР

• 4) G ® "x F(x) — правило обобщения к 3

• 5) "x F(x) — МР к 4 и G

• 6) F(y) — МР к РА1 и 5 (ч.т.д.)

Правило переименования связанных переменных

"x F(x) |– "y F(y), $x F(x) |– $y F(y) при условии, что F(x) не содержит свободных вхождений y и содержит свободные вхождения x, ни одно из которых не входит в область действия квантора по y.

• 1) |–"x F(x) — по предположению

• 2) "x F(x) ® F(y) — аксиома РА1

• 3) "x F(x) ®"y F(y) (правило обобщения к 2)

• 4) "y F(y) — МР к 1 и 3

42Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования

• Теорема 1. Всякая доказуемая формула исчисления предикатов тождественно-истинна (общезначима)

• Теорема 2. Всякая общезначимая предикатная формула доказуема в исчисления предикатов.

• Теорема 3. Пусть F(А) — формула, в которой выделено вхождение формулы А; F(В) — формула, полученная из F(А) заменой этого вхождения А формулой В. Тогда если |- А ~ В, то |- F(А) ~ F(В).

Благодаря теореме 3) можно получать доказуемые эквивалентности в исчислении, не строя их непосредственного вывода.

• 1) если |- А ~ В, то |- А ® С ~ В® С и |- С® А ~ С® В;

• 2) если |- А ~ В, то |- А Ú С ~ В Ú С и |- СÚ А ~ С Ú В;

• 3) если |- А ~ В, то |- А & С ~ В & С и |- С & А ~ С & В;

• 4) если |- А ~ В, то |- Ø А~Ø В;

• 5) если |- F(x) ~ G(x), то |- "x F(x) ~ "x G(x);

• 6) если |- F(x) ~ G(x), то |- $x F(x) ~ $x G(x).

43Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.

Формула, имеющая вид Q₁x₁ Q₂x₂ …Q_nx_nF, где Q₁, Q₂, …, Q_n — кванторы; F — формула, не имеющая кванторов, и являющаяся областью действия всех n кванторов, называется предваренной формулой, или формулой в предваренной форме.

Сколемовская форма – это такая предварённая форма, в которой исключены кванторы существования.

Сколемовское преобразование (исключение $-квантификации):

сопоставить каждой $-квантифицированной переменной список "-квантифицированных переменных, предшествующих ей, а также некоторую ещё не использованную функциональную константу, число мест у которой равно мощности списка.

В матрице формулы заменить каждое вхождение каждой $-квантифицированной переменной на некоторый терм. Этот терм является функциональной константой со списком аргументов, соответствующих предшествующим "-квантифицированным переменным и называется сколемовской функцией.

Устранить из формулы все $-квантификации.

Клоузальная форме это сколемовская стандартная форма, у которой матрица имеет вид КНФ.

44Метод резолюций в логике предикатов. Унификация. Условия унификации. Множество рассогласований. Алгоритм унификации для нахождения наиболее общего унификатора. Алгоритм метода резолюций применительно к логике предикатов.

Для того чтобы, было возможно применить метод резолюций для определения выполнимости множества предикатов необходимо произвести операцию УНИФИКАЦИИ, то есть конкретизировать как область определения предиката, так и объекты всех предикатов заданного множества. Унификатором двух термов называется подстановка, которая делает термы одинаковыми. Алгоритм метода резолюций применительно к логике предикатов:

• 1) переменные одного предложения переименовываются таким образом, чтобы они отличались от переменных другого предложения

• 2) находится подстановка, при которой какой-либо литерал одного предложения становится дополнительным к какому-либо литералу другого предложения, и эта подстановка производится в оба предложения;

• 3) литералы, дополнительные друг к другу вычеркиваются;

• 4) если имеются одинаковые литералы, то все они, кроме одного в каком-либо предложении, вычеркиваются;

• 5) дизъюнкция литералов, оставшихся в обоих предложениях, и есть резольвента.

Определим основные компоненты алгоритма унификации (нахождения наиболее общего унификатора) двух термов.

1. Константы унифицируемы, когда они совпадают

2. Переменные унифицируемы со всеми (константы, переменные, термы)

3. Термы унифицируемы тогда и только тогда, когда их названия совпадают и унифицируемы между собой соответствующие аргументы.

45Принцип логического программирования.

Логическая программа – это множество аксиом и правил, задающих отношения между объектами. Вычисление логической программы является выводом следствий из программы. Логика языка ограничена хорновскими дизъюнктами и снабжена резолюцией как единственным правилом вывода.

46Применение логики предикатов в логико-математической практике.

• 1. Запись на языке логики предикатов различных математических предложений.

• 2. Применение ЛП к логико-математической практике — построение доказательств различных теорем, основанное на теории логического следования.

• 3. Приложение логики предикатов к теории множеств, к анализу Аристотелевой силлогистики. Запись на языке логики предикатов различных математических предложений:

• необходимо осмыслить предложение,

• отчетливо выделить в нем посылки и следствие (если это теорема),

• очерчивать более широкий круг понятий и четко выделять ограничивающее условие (если это определение).

47Классификация высказываний по Аристотелю.

Содержание любого простого высказывания («категорического суждения») может быть сведено к утверждению о наличии или отсутствии у предметов определенных свойств. Утверждения могут относиться как к отдельным предметам, так и к классам предметов; быть утвердительными и отрицательным.

Шесть типов простых высказываний

• единичноутвердительные единичноотрицательные

• общеутвердительные общеотрицательные

• частноутвердительные частноотрицательные

По традиции типы высказываний, относящихся к классам предметов, обозначаются гласными буквами латинского алфавита

• A — общеутвердительные

• E — общеотрицательные

• I — частноутвердительные

• O — частноотрицательные

48Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики

Аристотель выделил важнейший тип дедуктивных умозаключений — силлогизмы.

Аристотелев силлогизм — схема логического вывода, состоящая из трех простых высказываний одного из четырех указанных видов A, E, I, O: два первых — посылки, третье — заключение.

Структура умозаключения. В них рассматриваются три свойства (термины): S, M, P. Первая посылка (большая) — простое высказывание, связывающая M и P. Вторая посылка (малая) связывает M и S. Следствие связывает S и P, причем в следствии S выступает в качестве субъекта, а P — в качестве предиката. В зависимости от расположения M может быть четыре вида (фигуры силлогизмов).