5Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.

Формула алгебры высказываний F(X1,X2, ...,Xn) называется тавтологией, если она превращается в истинное высказывание при любой подстановки конкретных высказываний А1 А2 Аn ,те функция истинности лямбда от F равна 1. ((¬X –> Y ) и (¬X –> ¬Y )) –> X

Закон искл третьего P U ¬P Закон отриц противоречия ¬(P ^ ¬P) ;

Закон двойного отрицания ¬¬P <-> P ;

Закон тождества P –> P ;

Закон контрпозиции (P -> Q) <-> (¬Q -> ¬P) ;

Закон силлогизма ((P -> Q) ^ (Q -> R)) -> (P -> R) ;

Закон противоположности(P ->Q) -> (¬P -> ¬Q) ;

Правило добавления антецедента P -> (Q -> P) ;

Правило из ложного что угодно ¬P -> (P -> Q) ;

Правило модус поненс (P ^ (P -> Q)) -> Q;

Правило модус толленс ((P -> Q) ^ ¬Q) -> ¬P ;

Правило перестановки посылок (P -> (Q -> R)) <-> (Q -> (P ->R)) ;

Правило объединения посылок (P -> (Q -> R)) <-> ((P ^ Q) ->R) ;

Правило разбора случаев ((P -> R) ^ (Q ->R)) <-> ((P U Q) -> R) ;

Правило приведения к абсурду ((¬P -> Q) ^ (¬P -> ¬Q)) -> P ;

Законы поглощения (P ^ (P U Q)) <-> P , (P U (P ^ Q)) <-> P ;

Законы де Моргана ¬(P ^ Q) <-> (¬P U ¬Q) , ¬(P U Q) <-> (¬P ^ ¬Q) ;

6Основные правила получения тавтологий.

Модус поненс

Если формулы F u F -> H являются тавтологиями, то H тоже тавтология.

Правило подстановки

Пусть в формуле F содержится пропозиц переменная X и H произв формула. Если в F вставить вместо X везде Н, то получим новую формулу.S,вверху Н внизу Х индексы, F

Пропозициональная переменная-переменная, область значений которой состоит из двух истинностных значений: "истина" и "ложь".

7Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.

Формулы F(X1,X2, ...,Xn) и H(X1,X2, ...,Xn) алгебры высказываний являются равносильными, если при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных логические значения получающихся из формул F и Н высказываний совпадают.( пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и логическое высказывание - повествоват предлож, которое либо равно 1 или 0). F ~= H. Теорема: Две формулы F и H являются равносильными, когда формула F<->Н является тавтологией. Напрашивается самый простой из способов: если две формулы построены из одних и тех же переменных, сравниваем их таблицы истинности, выписываемые для одинаково упорядоченных по счётчиковому принципу наборов значений переменных. Если заключительные столбцы этих таблиц (наборы значений формул) совпадают, они, конечно же, равносильны.

3 основных свойства:

рефлексивность F ~= F,

симметричность если F1~=F2 , то F2~=F1

Транзитивность если F1~=F2 и F2~=F3 , то F1~=F3

8Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.

Формула алгебры высказываний H(X1,X2, ...,Xn) называется логическим следствием формул F1(X1,X2, ...,Xn), ..., Fm(X1,X2, ...,Xn) , если для любого набора высказываний A1,A2, ...,An из равенств лямбда(F1(A1,A2, ...,An)) = 1, ..., лямбда(Fm(A1,A2, ...,An)) = 1 следует что лямбда(H(A1,A2, ...,An)) = 1. F1, F2, ..., Fm это посылки.Признаки:

Формула H является логическим следствием формулы F, если формула F <-> H тавтология

Для любых формул F1, F2, ..., Fm,H , m >= 2 следущие утверждения равносильны:

(1) F1, F2, ..., Fm |= H ;

(2) F1 ^ F2 ^ ... ^ Fm |= H ;

(3) |= (F1 ^ F2 ^ ... ^ Fm) ->H .

Чтобы установить, следует ли логически формула В исчисления предикатов из множества формул А1, А2,..., am (м > 1), необходимо, как и в исчислении высказываний, построить соответствующую таблицу истинности и убедиться в том что формула В будет иметь истинное значение во всех тех строках, где А1, А2,..., Аm одновременно являются истинными, и это условие выполняется во всех универсумах рассуждения.

(1) F1, F2, ..., Fm |= Fj для всех j = 1, 2, ...,m;

(2) если F1, F2, ..., Fm |= Gj для j = 1, 2, ..., p , и G1,G2, ...,Gp |= H , то F1, F2, ..., Fm |= H .

9Следование и равносильность формул.

Две формулы алгебры логики А и В называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе входящих в формулы элементарных высказываний. Формула F2 следует из формулы F1, если их импликация есть тавтология, или F1 => F2, если F1 → F2 - тавтология. Тавтология - формула, которая истинна при любом наборе значений входящих в неё переменных. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня

10Нахождение следствия для данных посылок.

Мы научились определять, является ли данная формула логическим следствием некоторых других данных формул. Теперь возникает вопрос, как можно находить все формулы, являющиеся логическим следствием данной совокупности формул. Следующая теорема дает ключ к решению этой задачи.

Теорема. Формула H(X₁,...,X_n) не являющаяся тавтологией, тогда и только тогда будет логическим следствием формул F₁(x₁,...,X_n), ..., F_m(X₁,...,X_n), не все из которых являются тавтологиями, когда все совершенные дизъюнктивные одночлены из разложения формулы H в совершенную конъюнктивную нормальную форму входят в совершенную конъюнктивную нормальную форму формулы F₁(X₁,...,X_n) ^ ... ^ F_m(X₁,...,X_n).

Доказательство. Необходимость. Дано: F₁... F_m=H. Тогда F₁^...^F_m=H. Найдем для формул F₁^...^F_m и H их совершенные конъюнктивные нормальные формы. Такая форма для каждой не тождественно истинной формулы существует и единственна с точностью до порядка совершенных дизъюнктивных одночленов в конъюнкции. Пусть D₁^...^D_k — СКН-форма для формулы F₁^...^F_m, а H₁^...^H₁ — СКН-форма для формулы Н. Тогда: F₁^...^F_m≡ D₁^...^ D_k, H ≡ H₁^...^H₁.

Допустим, что заключение теоремы не выполняется, т.е. среди совершенных дизъюнктивных одночленов H₁,...,H₁ имеется такой, которого нет среди совершенных дизъюнктивных одночленов D₁,..., D_k Не нарушая общности (ввиду несущественности порядка вхождения одночленов H₁,...,H₁, в СКН-форму H₁^...^H₁), можем считать, по таким одночленом является, например, H₁. Итак, H₁(X₁,...,X_n)≠ D₁(X₁,...,X_n),..., H₁(X₁,...,X_n)≠ D_k(X₁,...,X_n). Тогда существует единственный (с точки зрения логических значений) набор А₁ ..., А_n, на котором совершенный дизьюнктивный одночлен H₁(X₁,...,X_n) принимает значение 0: λ(Н₁(А₁, ..., А_n)) = 0 (1)

Этот набор выбирается следующим образом. Если переменная X_i входит в Н₁ без знака отрицания, то А_i таково, что λ(A_i) = 0; если X_i входит в Н₁ со знаком отрицания, то А_i таково, что λ(A_i)=1(1≤i≤n). Каждый из совершенных дизъюнктивных одночленов D₁,..., D_k в силу его отличия от совершенного дизъюнктивного одночлена Н₁ обращается на данном наборе в 1: λ(D₁(А₁, ..., А_n))=1,..., λ(D_k(А₁, ..., А_n))=1. Тогда λ(D₁(А₁, ..., А_n))^...^ λ(D_k(А₁, ..., А_n))=1, откуда, в силу равносильности D₁^...^ D_k≡ F₁^...^ F_m, получаем λ(F₁(А₁, ..., А_n))^...^ λ(F_m(А₁, ..., А_n))=1. Следовательно, λ(F₁(А₁, ..., А_n))^...^ λ(F_m(А₁, ..., А_n))=1, а значит,

λ(F₁(А₁, ..., А_n))=1,..., λ(F_m(А₁, ..., А_n))=1 (2)

Соотношения (1) и (2) противоречат условию: F₁,...,F_m=H. Следовательно, в СКН-форме формулы Н нет ни одного совершенного дизъюнктивного одночлена, который отсутствовал бы в СКН-форме формулы F₁^...^F_m

Достаточность. Пусть D₁^...^ D_k — СКН-форма формулы F₁^...^F_m . Тогда F₁^...^ F_m ≡ D₁^...^ D_k. Пусть далее H≡D_i1^...^D_is где 1≤i₁,...,i_s≤k и i₁,...,i_s попарно различны. Тогда ясно, что если при некоторой подстановке формула F₁^...^F_m принимает истинное значение, то и равносильная ей формула Р, л ... л Р» также принимает значение 1. Следовательно, и все члены D₁^...^ D_k последней конъюнкции принимают значение 1, включая члены D_i1,...,D_is. Но тогда и конъюнкция D_i1^...^D_is ≡H также принимает значение 1. Значит, F₁,...,F_m=H

Эта теорема определяет следующее правило(алгоритм) для нахождения всех (неравносильных) формул, являющихся логическими следствиями из посылок F₁,...,F_m:

1) составить конъюнкцию F₁^...^F_m;

2) найти СКН-форму формулы F₁^...^F_m;

3) выписать все совершенные дизьюнктивные одночлены найденной СКН-формы, а также всевозможные конъюнкции этих одночленов. Полученное множество формул и является искомым.

11Нахождение посылок для данного следствия.

Задача нахождения всех формул, из которых данная формула логически следует, является обратной по отношению к той, которая была рассмотрена в предыдущем пункте. Ее решение основывается на следующей теореме.

Теорема. Чтобы найти все формулы, логическим следствием каждой из которых будет данная формула G(Х₁ ..., Х_n), нужно действовать но следующему алгоритму. Найти СКН-форму для формулы G(Х₁ ..., Х_n); выявить все совершенные дизьюнктивные одночлены, которые в ней отсутствуют; составить всевозможные коньюнкции формулы G(Х₁ ..., Х_n) с недостающими дизьюнктивными одночленами. Получившаяся совокупность формул (вместе с формулой G) будет искомой (с точностью до равносильности формул).

Доказательство. Ясно, что из каждой формулы этой совокупности будет логически следовать формула G, так как G^H=G (конъюнкция сильнее каждого из сомножителей). Обратно, покажем, что каждая формула F, из которой логически следует данная формула G, имеет указанный вид, т.е. представляет собой коньюнкцию формулы G и некоторых совершенных дизъюнктивных одночленов, отсутствующих в СКН-форме для G. В самом деле, пусть F=G, G≡D₁^D₂...^D_k — СКН-форма для формулы G(Х₁ ..., Х_n) и F≡d₁^d₂^...^d_s(∆₁^∆₂^...^∆_s) — СКН-форма для формулы F(Х₁ ..., Х_n)

По определению логического следования, F=G означает, что если формула F(Х₁ ..., Х_n) на некотором наборе А₁ ..., А_n значений пропозициональных переменных приняла значение 1, то и формула G(Х₁ ..., Х_n)на этом наборе примет значение 1. Другими словами, если формула G(Х₁ ..., Х_n) на некотором наборе А₁ ..., А_n значений пропозициональных переменных принимает значение 0, то и формула F(Х₁ ..., Х_n) на этом наборе принимает значение 0. Но все наборы значений переменных, на которых G принимает значение 0, находятся во взаимно-однозначном соответствии с совершенными дизъюнктивными одночленами D₁,D₂,...,D_k образующими СКН-форму лля формулы G, т.е. если G(А₁ ..., А_n )= 0, то D_i(А₁ ..., А_n)= 0 для некоторого 1 ≤i≤k. Следовательно, F(А₁ ..., А_n )= 0 и значит на этом же наборе принимает значение 0 некоторый совершенный дизъюнктивный одночлен d_i(∆i) входящий в ее СКН-форму. Но тогда этот одночлен совпадает с одночленом D_i. Таким образом, каждый совершенный дизъюнктивный одночлен D_i из СКН-формы для G входит в СКН-форму для формулы F, т.е. СКН-форма для F имеет вид: F≡D₁^D₂^...^D_k^∆_k+1^...^∆s,где ∆_k+1,...,∆s — совершенные дизъюнктивные одночлены от переменных Х₁ ..., Х_n , не входящие в СКН-форму для формулы G.