12Алгебра логики. Функции алгебры логики. K-значные логики.

Логические формулы рассматриваются как алгебраические выражения, которые можно преобразовывать по определенным правилам, реализующим логические законы.

Алгебра логики как раздел математической логики изучает строение сложных логических высказываний (логических формул) и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. Формулы алгебры логики состоят из букв — логических переменных, знаков операций — логические операции, скобки. Каждая формула задает логическую функцию — функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два значения. Рассмотрим двухэлементное множество B и двоичные переменные, принимающие значения из B. Алгебра, образованная множеством B вместе со всеми возможными операциями на нем, называется алгеброй логики. Функцией алгебры логики (или логической функцией) от n переменных называется n-арная операция на B, т.е. f : Bⁿ ® B. Логическая функция f(x₁, …, x_n) — это функция, принимающая значения 0, 1. Множество всех логических функций обозначается P₂, множество всех логических функций n переменных — P₂(n). Алгебра, образованная k-элементным множеством вместе со всеми операциями на нем, называется алгеброй k-значной логики, а n-арные операции на k-элементном множестве называются k-значными логическими функциями n переменных; множество всех k-значных логических функций обозначается P_k.

13Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные. Логической функцией называется зависимость поведения выходных логических величин от изменения входных логических величин. Таблица истинности: в левой части — перечислены все 2ⁿ наборов значений переменных, в правой части — значения функции на этих наборах. Таблица истинности содержит 2n строк, n+m столбцов (количество входов n+количество выходов m). Таблицей Келли и формулами. Наборы, на которых функция f = 1, часто называют единичными наборами функции f, а множество единичных наборов — единичным множеством f. Соответственно наборы, на которых f = 0, называют нулевыми наборами f , а множество нулевых наборов — нулевым множеством f. Переменная x_i в функции f(x₁,…, x_i–1, x_i, x_i+1, …, x_n) называется фиктивной, если f(x₁,…, x_i–1, 1, x_i+1, …, x_n) = f(x₁,…, x_i–1, 0, x_i+1, …, x_n) при любых значениях остальных переменных. В этом случае f(x₁,…, x_n) по существу зависит от n - 1 переменной.

14Бинарные функции алгебры логики.

15Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.

Суперпозицией функций f₁, ..., f_m называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименования переменных, а формулой называется выражение, описывающее эту суперпозицию. Функция f(x,y) = ¬(x & y) является суперпозицией функций ¬ и &.

Префиксная - знак операнда впереди него.

Инфиксная - знак операнда между ними.

Постфиксная - знак операнда после него.

Пусть дана формула F=f(fi,fj). Тогда формула F имеет глубину k=max(ki,kj)+1 ,где ki и kj глубина формул fi и fj. Говорят что F получена суперпозицией f,fi,fj. Функцию f называют главной или внешней операцией F, fi,fj это подформулы F.

16Эквивалентные формулы. Способы установления эквивалентности формул.

Формулы, представляющие одну и ту же функцию, называют эквивалентными или равносильными. Стандартный метод установления эквивалентности: 1) по каждой формуле восстанавливается таблица истинности функции, а затем 2) полученные таблицы сопоставляются по каждому набору значений переменных. Например штрих Шеффера и отрицание х1 дизъюнкция отрицание х2.

17Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.

Бу́лева фу́нкция от n переменных —отображение В^n → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0.

Система булевых функций {f1, f2, …, fm} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции этой системы с помощью составления из них сложных функций. Составление сложных функций из элементарных функций системы называется суперпозицией.

Пусть К – некоторое подмножество элементарных функций. Замыканием подмножества К называется множество булевых функций, представимых в виде формул через функции К. Обозначение замыкания : [K].

Базис это набор операций, через которые можно выразить все остальные операции. Множество функций C = { x1, x1x2, x1x2x3, ..., x1x2...xn } образует замкнутый класс конъюнкции.

ФПБ: Система булевых функций W называется функционально-полной, если произвольная булева функция вида f (x1, x2, ..., xn) может быть представлена суперпозицией функций x1, x2, ... ,xn и суперпозицией конечного числа функций системы W.

• {°} (Функция Вебба),

• {½} (штрих Шеффера);

• {®, 0}, { ®, 1},

• { &, Å, 1}

• и другие.

• Наиболее изученным является базис {&, Ú, Ø}.

Классы Поста: Замкнутый класс в теории булевых функций — такое множество P функций алгебры логики, замыкание которого относительно операции суперпозиции совпадает с ним самим: [P] = P. Другими словами, любая функция, которую можно выразить формулой с использованием функций множества P, снова входит в это же множество.

Класс T0 функций, сохраняющих константу 0:

Класс T1 функций, сохраняющих константу 1:

Класс S самодвойственных функций:

Класс M монотонных функций;Класс L линейных функций;

Система булевых функций F является полной тогда и только тогда, когда она не содержится полностью ни в одном из классов, т.е. когда в ней имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая 0, хотя бы одна функция, не сохраняющая 1, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.