1Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные высказывания, логические связки. Роль связок в естественном языке.

Логика это наука о законах мышления и его формах, а также о ходе рассуждений и умозаключений. Логика высказываний – это формальная теория, основным объектом которой служит логическое высказывание(Логическое высказывание это некоторое повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли,0 или 1). Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое - простым. Слова "и", "либо, либо", "если, то" и т.п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками. С помощью связок можно составлять сложные высказывания. Логическая связка — это любая логическая операция над высказыванием.

2Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.

Буквы, обозначающие высказывания(A(x) = «В городе x идет дождь.» A — высказывательная форма, x — объект.), логические связки и скобки составляют алфавит. С помощью элементов алфавита можно построить разнообразные логические формулы. Логическая формула должна удовлетворять следующим условиям: любая переменная, обозначающая высказывание, это формула и если А и В формулы, то (A & B), (A Ú B), (ØA), (A ® B), (A ~ B), (A Å B) — формулы. Других нет. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка. Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1)(Ф2)), ((Ф1)(Ф2)), ((Ф1)→(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается. Символы л,и (``ложь'', ``истина'') называются истиностными значениями. Интерпретация пропозициональной сигнатуры s есть функция из s в {л,и}. Если s конечна, тогда интерпретация может быть определена таблицей её значений, например: pq/ли

3Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость, опровержимость.

Пусть I – интерпретация, ф - формула от n переменных, d₁, d₂, …, d_n – набор предметов.

Определение. Формула ф называется выполнимой в интерпретации I, если для некоторого набора предметов d₁, d₂, …, d_n I|=ф (x1 x2 xn)[d1 d2 dn].

Определение. Формула ф называется истинной в интерпретации I, если для любого набора предметов d₁, d₂, …, d_n I|=ф (x1 x2 xn)[d1 d2 dn].

Определение. Формула ф называется противоречивой в интерпретации I, если она не является выполнимой (т.е. если эта формула соответствует тождественно ложному утверждению).

Определение. Формула ф называется общезначимой, если она является истинной в любой интерпретации. Общезначимость формулы обозначается |=ф.

4Основные схемы логически правильных рассуждений.

П равило заключения — утверждающий модус (Modus Ponens): «Если из высказывания A следует высказывание B и справедливо (истинно) высказывание A, то справедливо В» Обозначается:

П равило отрицания — отрицательный модус (Modus Tollens) Если из A следует B, но высказывание В неверно, то неверно и A»

П равило утверждения–отрицания (Modus Ponendo–Tollens):«Если справедливо или высказывание A, или высказывание B (в разделительном смысле) и истинно одно из них, то другое ложно»

П равило отрицания–утверждения (Modus Tollen–Ponens):«Если истинно или A, или B (в разделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое»

« Если истинно A или B (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое»

П равило транзитивности (упрощенное правило силлогизма)«Если из A следует B, и из B следует C, то из A следует C»

Закон противоречия:«Если из A следует B и ØB, то неверно A»

П равило контрапозиции:«Если из A следует B, то из того, что неверно B, следует, что неверно A»

Правило сложной к.:«Если из A и B следует С, то из А и Ø С следует ØB»

П равило сечения:«Если из A следует B, а из В и С следует D, то из А и С следует D»

Правило импортации (объединения посылок): «Если из А следует В из которого следует С, то из А и В следует С»

Правило экспортации (разъединения посылок): «Если из А и В следует С, то из А следует В из которого следует С»

Правило дилемм: «из А следует С, из В следует С, А или В, то С»