9.Подстановки

Взаимно однозначное отображение множества

х={ 1,2,..,n} на себя называют подстановкой n чисел или n-ой степени.

тождественная подстановка n-ой степени e переводит сам в себя. Всякую подстановку можно на произведение циклов множество элементов, которые попарно не пресекаются.

10.Способы представления отношений:

1. Фактор множества: пусть задано отношение AcX×Y Сечение А(хi) называется множество 2-х координат которые находятся в отношении с элементом хi . Множество всех сечений отношения А называют Фактор множества Y по отношению А.

2. Матрица отношений: с – столбцы, yj – строки, ставится 1 если хi ставится в соответствие yj

3. Граф отношения: G(V,E), где V – вершины, E – рёбра. В графе отношения вершины соответствуют элементам множеств участвующих в отношениях, а рёбра(дуги) соединяют те вершины элементы которых связаны данным отношением.

11.Опреации над отношениями

Так как всякое бинарное отношение — это множество упорядоченных пар, то над бинарными отношениями можно выполнять все теоретико-множественные операции: объединение, пересечение, разность, дополнение.

Если R — бинарное отношение, то в качестве универсального множества в этом случае рассматривают множество U= F(R) x F(R), где F(R) — поле отношения R. Если совместно рассматривается несколько бинарных отношений, то в качестве универсального множества рассматривают множество U = A xA, где А есть объединение полейкаждого из рассматриваемых отношений.

Например, пусть рассматриваются отношения R = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} и S= {(1,1),(2,2),(3,3)}. В этом случае универсальное множество имеет вид: U={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}.

Тогда результаты некоторых теоретико-множественных операций будут следующими:

Кроме обычных теоретико-множественных операций, над бинарными отношениями определяют специальную операцию.

Композицией бинарных отношений R и S называют бинарное отношение Т, состоящее из всех упорядоченных пар (а, Ь), для каждой из которых существует элемент такой, что (то есть aRc, cSb). Операцию композиции записывают так: Т = R о S.

Например, пусть

Т огда

12.Свойства отношений:

Рефлексивно если есть все (1,1), (2,2) ,(3,3)

Антирефлексивно если нет ни одного (1,1), (2,2) ,(3,3)

Симметрично если есть все (1,2), (2,1), (3,2), (2,3)

Ассиметрично если нет ни одного (1,2), (2,1) и нет (1,1), (2,2) ,(3,3)

Антисимметрично если нет ни одного (1,2), (2,1) но есть (1,1), (2,2) ,(3,3)

Транзитивно если композиция такая же.

Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

Если отношение антирефлексивно, асимметрично и транзитивно, то оно называется отношением строгого порядка.

Если отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно называется отношением нестрогого порядка.

13.Отношение эквивалентности

представляет собой перевод интуитивных понятий о сходстве и неразличимости строгих математических понятий отношения ~ обладает свойствами : рефлексивности,симметричности, транзитивности. Вознесшие свойство отношения эквивалентности состоит в том что оно определяет признак который допускает разбиение множества М на а подмножестве непересекающихся между собой , они называются классами эквивалентности