19. Теорема про зміну кінетичної енергії точки та системи.

Теорема. Приріст кінетичної енергії матеріальної точки на деякому відрізку дуги її траєкторії дорівнює роботі сили, що прикладена до точки, на цьому самому відрізку дуги траєкторії.

Доведення. Нехай на матеріальну точку М діє сила F, внаслідок чого матеріальна точка рухається по траєкторії з положення М1, в якому швидкість точки V1 у кінцеве положення, де швидкість точки V. За другим законом Ньютона

d(mv)/dt=F

Щоб у це рівняння увійшла кінетична енергія m*v*v /2, треба скалярно помножити обидві частини його на V = dr/dt, тоді дістанемо

V*(d(mv)/dt)=F*dr/dt=FV

Звідси легко отримати

d(mvv/2) = F*dr.

Оскільки тV2 /2 = Т, то останній вираз запишемо у вигляді

dT = F*dr.

Зліва в рівності записано елементарний приріст кінетичної енергії, а справа -фізична величина, що називається елементарною роботою і позначається d'A, тобто

d'A=F*dr.

Отже, елементарна робота дорівнює скалярному добутку сили на елементарне переміщення, що спричинене цією силою.

Елементарна робота не завжди буде повним диференціалом деякої скалярної функції координат точки. Підставляючи d'A в , одержимо

dT=d'A.

Ця рівність виражає теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки в диференціальній формі: диференціал кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює елементарній роботі сил, що діють на точку.

Інтегруючи обидві частини , дістанемо

Т-Т0 = А

або

mVV/2-mVoVo/2=A

Теорема доведена.

20. Кінетична енергія твердого тіла.

Розглянемо випадок, коли система матеріальних точок незмінна, тобто є твердим тілом. Уведемо систему координат Oxyz , яка незмінно зв'язана з твердим тілом і обертається разом з ним навколо точки О з кутовою швидкістю omega. Тоді, враховуючи, що Vir=omega x poi., вираз

ri=ro+poi,vi=vo+vir набуде вигляду

vi=vo+omega x pi,

Використовуючи вираз для Тor, а також те, що vCr=omega x pc рівність T=1/2 *mVoVo+mvo*Vcr+Tor

можна записати так:

T=1/2 *mVoVo+mvo*omega x pc+1/2 cyma mi*(omega* pi)

Стосовно твердого тіла теорему Кеніга (точка О збігається з центром мас, рс = 0) можна записати у вигляді рівності

T=1/2mVcVc+Tc

і сформулювати так: кінетична енергія твердого тіла дорівнює сумі кінетичної енергії його поступального (переносного) руху разом із центром мас і кінетичної енергії обертального руху тіла навколо центра мас.

21. Робота і потужність сили.

Поняття роботи сили виникло у зв'язку зі зміною другої міри механічного руху (кінетичної енергії).

Елементарна робота сили є скалярною мірою дії сили, що дорівнює скалярному добутку сили на елементарне переміщення точки її прикладення. У разі натурального способу задання руху dr = tayds . Елементарну роботу визначимо з виразу

d'A = Ftayds = Fdscos{F,tay) =

= Fds cos a.

Повна робота при цьому визначатиметься криволінійним інтегралом

A =integral(So,S)Fcosads,

де So i S- початкове і кінцеве значення дугової координати.

При координатному способі задання руху вираз повнa роботa має вигляд

A=integral(Mo,M) (Fxdx + Fy.dy + Fzdz).

Поряд з поняттям роботи вводять також поняття потужності:

N = F*V = Fx*dx/xt+Fy*dy/dt+Fz*dz/dt Очевидно, що потужність не можна розглядати як похідну від роботи, взяту за часом, оскільки d'A не є повним диференціалом деякої функції координат.

Потужність N - це фізична величина, що характеризує швидкість виконання роботи силою, яка прикладена до матеріальної точки, і дорівнює скалярному добутку сили на швидкість точки.