13. Обертання тіла навколо нерухомої осі. Швидкість точок тіла, що обертається навколо осі (формула Ейлера).

Обертальний рух твердого тіла навко-ло нерухомої осі. Обертальним рухом твер-дого тіла навколо нерухомої осі називається такий рух, при якому пряма, що проходить через які-небудь дві точки (О, О1) , під час руху тіла залишається нерухомою. Ця пряма ОО1 називається віссю обертання тіла. Положення тіла при його обертанні навколо нерухомої осі визначається кутом повороту fi. Якщо провести в деякий момент часу через вісь обертання ОО1 площину Q і за-фіксувати її положення в нерухомому просторі, а через деякий проміжок часу провес-ти іншу площину Р , незмінно зв'язану з тілом, то отримаємо двогранний кут з ребром ОО1 на осі обертання. Лінійний кут fi цього двогранного кута називається кутом повороту тіла. Домовимося про вибір знака кута повороту fi . Якщо з боку додатноrго напрямку осі Оz перехід від однієї площини Q до іншої Р відбувається проти ходу годинникової стрілки, то кут повороту fi вважатимемо додатним, а якщо за ходом годинникової стрілки - від'ємним. Кут fi виміряється в радіанах і характeризує поворот осей Ox1y1z1, незмінно зв'язаних із тілом, відносно початкової системи відліку Охуz. При обертанні тіла кут повороту fi неперервно змінюється у часі. Отже, fi = fi(t). Це рівняння називається кінематичним рівнянням обертального руху тіла навколо нерухомої осі.

Кутова швидкість омега=фі'.

Ктове прискорення епселон=фі" Швидкість будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, називається лінійною. Швидкості точок на ободі маховика або диска, що обертається, називають також коловими. Оскільки рух точки тіла у цьому русі за-даний натуральним способом, то

V = s = R*fi = R*omega.

Отже, лінійна швидкість точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, за вели-чиною дорівнює добутку радіуса обертання на кутову швидкість. Лінійна швидкість напрямлена по дотичній до кола в бік обертання і, таким чином, перпендикулярна до радіуса обертання R. Покажемо, що лінійна швидкість точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку кутової швидкості й тіла на радіус-вектор r точки М. Нехай тіло обертається навколо нерухомої осі проти ходу годинникової стрілки. Тоді вектор кутової швидкості omega буде напрямлений у додатному напрямі осі обертання Оz. Положення розглядуваної точки тіла визначимо радіусом-векто-ром r . При цьому R = r*sin(omega,r) Підставивши у вираз це значення К , одержимо

v=omega*r*sin (omega,fi)

Отже, модуль лінійної швидкості дорівнюватиме модулю векторного добутку векторів omega та r . Очевидно, що напрям лінійної швидкості точки М збігається з напрямом векторного добутку omega х r . Це безпосередньо випливає з визначення векторного добутку двох векторів omega та r . Таким чином, лінійна швидкість точки дорівнює векторному добутку векторів omega та r :

v= omegaхr.

Ця формула називається формулою Ейлера.