1. Аксіоми статики. Теорема про три сили. Статикою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчають методи перетворення одних систем сил в інші, що еквівалентні їм, а також умови рівноваги різних систем сил, які діють на тверде тіло.

Аксіома І (про дві сили). Дві сили, прикладені до абсолютно твердого тіла, взаємно зрівноважуються (еквівалентні нулю) тільки тоді, коли вони однакові за величиною і діють уздовж однієї прямої в протилежних напрямах.

F1=-F2, |F1 |=|F2 |

Ця аксіома справедлива тільки для абсолютно твердого тіла. У разі деформівного твердого тіла вона не завжди справедлива.

Аксіома II (про паралелограм сил). Рівнодійна двох сил, прикладених до тіла в одній точці, дорівнює векторній сумі цих сил прикладена в тій самій точці. Сформульоване можна записати так:

R=F1+F2=сума Fi

Модуль рівнодійної сили R визначається за теоремою косинусів: напрямок рівнодійної двох сил визначається діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах. Аксіома III (про звільнення від в'язей).Не змінюючи механічного стану (руху або рівноваги) системи матеріальних точок або твердого тіла, в 'язь, накладену на систему або тверде тіло, можна відкинути,замінивши дію в'язі її реакцією, прикладеною до цього тіла або системи в точці взаємодії тіла і в'язі. Аксіома IV (про накладення нових в'язей). Рівновага системи матеріальних точок або твердого тіла не порушиться при накладенні на них нових в 'язей. Аксіома V (про затверднення). Якщо деформівне тіло перебуває в рівновазі, то рівновага його не порушиться, якщо, не змінюючи його форми, розмірів, положення у просторі, подати його у вигляді відповідного абсолютно твердого тіла. Теорема (про три сили). Якщо абсолютно тверде тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил і лінії дії двох сил перетинаються, то всі сили лежать в одній площині і їхні лінії дії перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай тверде тіло перебуває в рівновазі під дією непаралельних сил

F1,F2,F3, з яких F1 і F2 лежать в одній площині. Продовжимо лінії дії сил F1

і F2 і знайдемо їхню точку перетину О, існування якої забезпечується умовою теореми. Перенесемо сили F1 і F2 уздовж їхніх ліній дії у точку О і знайдемо рівнодійну R= F1+F2. Замінивши F1 і F2 їх рівно-дійною R, одержимо нову систему сил (R,F3), еквівалентну заданій (F1,F2,F3),

тобто (R,F3)=(F1,F2,F3). Однак тепер можна припустити, що тіло перебуває в рівновазі під дією лише двох сил R і F3.Це можливо з огляду на аксіому І, якщо R і F3 мають загальну лінію дії. Отже, всі три сили F1, F2 і F3 лежать в одній площині і лінія дії сили F3 проходить через точку О.

Теорему доведено.

Таким чином, для рівноваги системи трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, необхідно (але не достатньо), щоб лінії дії цих сил перетиналися в одній точці.

2. Типи в'язей та їх реакції.

Розглянемо види в'язей, що найчастіше трапляються при розв'язанні задач, і зазначимо, як визначати напрям реакцій цих в'язей. Щодо величин цих реакцій, то їх можна знайти з умов рівноваги, оскільки вони залежать від активних сил.

1. Якщо в'язь є ідеально гладенькою поверхнею, то точка контакту тіла А з цією поверхнею може вільно ковзати по ній. Тому реакція ідеально гладенької поверхні напрямлена по нормалі від поверхні.

2. Якщо в'язь здійснюється ниткою, мотузкою або аналогічними тілами {шнуром, тросом, ланцюгом), то для спрощення постановки задач теоретичної механіки припускають, що нитка є невагомою, гнучкою і нерозтяжною. Реакція нитки напрямлена вздовж нитки до точки її закріплення і позначається через Т. Наприклад, якщо тіло підвішене до стелі за допомогою нитки , то реакція нитки Т напрямлена вздовж нитки до точки її закріплення .

3. Якщо в'яззю є шорстка поверхня, то її реакція N розкладається на дві складові: нормальну і дотичну, відповідно напрямлені по нормалі п і по дотичній т до поверхні.

У цьому разі дотична складова реакції є силою тертя.

4. В'язі можуть бути виконані у вигляді шарнірів - циліндричній і сферичних . Напрями реакцій таких в'язей заздалегідь визначити не можна. Так, у разі циліндричного шарніра (підшипника) реакція його розміщена в площині, перпендикулярній до його осі OZ. Невідомий вектор реакції в'язі в площині визначається

двома складовими Rx і Ry по осях Ох і Оу, величини яких знаходять з умов рівноваги.

Напрям реакції сферичного шарніра або підп'ятника розкладають за напрямом трьох взаємно перпендикулярних осей Ох, Оу, Оz. Модулі та їх напрями визначають з умов рівноваги відповідних систем сил.

В окремому випадку, коли можна знехтувати розмірами шарнірів і силами тертя, що виникають у них, шарніри називають ідеально точковими.

5. В'язь може здійснюватися у формі ідеальних стрижнів.

Вагою таких стрижнів нехтують і вважають, що на їхніх кінцях є точкові шарніри. Реакція такого ідеального стрижня напрямлена вздовж осі стрижня, у чому неважко впевнитися. Дійсно, якщо знехтувати вагою стрижня, на кінцях якого точкові шарніри, то за аксіомою І стрижень перебуває в рівновазі під дією двох сил (Fa=-Fb), прикладених до шарнірів. Ці сили

рівні за величиною, діють по прямій, що з'єднує шарніри, і напрямлені в протилежні боки, тобто реакція ідеального стрижня також напрямлятиметься по осі стрижня.

6. В'язь може здійснюватися у формі котків (рухомих шарнірів). Реакція котка напрямлена перпендикулярно до опорної площини котка.

3. Система збіжних сил та умова їх рівноваги.

Системою збіжних сил називається система таких сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.

Теорема. Для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб рівнодійна сила дорівнювала нулю:

R = 0

Умовa є геометричною умовою рівноваги системи збіжних сил. Необхідність умови рівноваги випливає з того, що задана система збіжних сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, еквівалентна одній силі - рівнодійній R . Очевидно, що під дією однієї сили тіло перебуватиме в рівновазі лише тоді, коли ця сила дорівнюватиме нулю, що випливає з аксіоми про дві сили.

Доведемо достатність цієї умови. Для цього покажемо, що коли рівнодійна сила дорівнює нулю, то система збіжних сил перебуває у рівновазі. Задана система сил еквівалентна рівнодійній, яка дорівнює нулю. З визначення зрівноваженої (еквівалентної нулю) системи сил, її можна відкинути, не порушуючи стану системи. Тоді на тіло не діють ніякі сили і воно за першим законом Ньютона перебуває в рівновазі.

Оскільки R=суміFi= 0, то многокутник

сил має бути замкненим, тобто кінець останньої сили Fn збігається з початком першої сили F1, що виражає умова рівноваги системи збіжних сил у графічній формі (ним зручно користуватись у разі плоскої системи сил).

Векторній рівності відповідають три скалярні рівності: Rx= 0, Ry = 0,

Rz=0, які, з урахуванням формул, перепишемо у вигляді

сума Fix=0, сума Fiy=0,сума Fiz=0

Умови є умовами рівноваги системи збіжних сил в аналітичній формі і формулюються так: для рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебричні суми проекцій сил на три взаємно перпендикулярні осі дорівнювали нулю.

У разі рівноваги системи збіжних сил, що лежать в одній площині, наприклад Оху, дістанемо

сума Fix=0, сума Fiy=0

Отже, для рівноваги системи збіжних сил, що лежать у площині, необхідно і достатньо, щоб алгебричні суми проекцій цих сил на дві взаємно перпендикулярні осі дорівнювали нулю.

Умови рівновагu називаються також рівняннями рівноваги. З них визначаються невідомі величини при розв'язанні конкретних задач. Якщо невідомими силами є реакції в'язей, то їх кількість не повинна перевищувати числа рівнянь рівноваги, бо інакше задача буде статично невизначеною і розв'язати її методами теоретичної механіки не вдасться.