33) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X. *Сформулируем теорему, которая показывает, в каком виде искать общее решение ЛНДУ. *Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения. То есть, . Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравн. второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять . *Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей с правой части уравнения. Перечислим их.

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства

2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Q_n(x) определяются из равенства .

Если функция f(x) имеет вид , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

34. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Вид решения.

Линейные однородные системы диф.уравнений 1-го порядка имеют вид:

(1)

Если ввести векторы и , то систему (1) можно записать в векторном виде Z’=A*Z, где . Пара функций x(t) и y(t) называется решением системы (1), если она превращает оба ее уравнения, а следовательно и уравнение (2), в тождества.Решение:Выпазим у из 1-го уравнения системы (1): . Продифференцируем это выражение и подставим у и у’ во второе уравнение системы (1)

где TrA – след матрицы А, detA – ее определитель

(3) Выразив х из 2-го уравнения системы (1) и, действуя аналогично, получим (4). Имеем однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: (5)

По теореме Виетта корни уравнения обладают свойствами:

;

Но этими же свойствами обладают и собственные числа матрицы А, которые, следовательно, являются корнями характеристического уравнения.

Общее решение уравнений (3) и (4):

(6)

(7), где вид функций и определяется типом корней характеристического уравнения (5). Начальные условия для уравнений (6) и (7), а следовательно и неопределенные коэффициенты С1,С2,В1,В2 не являются независимыми. Они связаны двумя уравнениями системы (1). Поэтому независимых коэффициентов только два.

Общим решением системы (1) называется решение:

из которого путем выбора конкретных значений производных независимых постоянных С1, С2 может быть получено любое решение этой системы, которое называется частным решением.