5. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений в теории автоматического регулирования.

При составлении диф. уравнения любой САР необходимо выделить ее составляющие элементы и записать уравнение каждого звена в отдельности

Вся совокупность этих уравнений образует единую систему, которую можно преобразовать к одному уравнению путем исключения промежуточных переменных.

Таким образом, уравнением звена называется математическая запись соотношения всех сил, действующих на звено. Уравнение звена должно быть выражено динамическими зависимостями между входными и выходными величинами данного звена.

Состояние объекта Р характеризуется выходом x(t) , входным воздействием y(t) и возмущением f(t) (1). Состояние регулятора характеризуется выходом y(t) и входным сигналом ε(t) (2, 3).

Система уравнений (1-3) полностью описывает процессы в данной САР.

Если исключить промежуточные переменные (y .. ε), то получим дифференциальное уравнение всей системы:

Уравнение (4) описывает состояние системы во времени называется уравнением динамики. Это уравнение может быть как линейным, так и нелинейным.

Нелинейные уравнения приводят к трудностям в решении задачи, поэтому очень часто их стремятся заменить с определенным приближением на линейные уравнения, анализ которых гораздо проще. Методика выполнения такой замены называется линеаризацией.

Если функция f аналитическая, то линеаризация осуществляется с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестностях точки, характеризующей состояние равновесия.

6. Понятие передаточной функции и частотных характеристик системы автоматического регулирования.

Предполаг.что некот. САР опис-я лин.дифф.ур-ием n-ого порядка с постоянными коэфф. a,b. x(t)-регулир.выходная величина g(t)-входн.сигнал. Для анализа САР широко исп-я операторная запись дифф.ур-ий в основе кот.лежит преобраз.Лапласа: D(p)x=M(p)g (2) где

D(p)=a_npⁿ+ a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀ M(p)=b_mp^m+ b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀ p=d/dt-оператор диффер-ия. В теории автом.регулирования широко исп.термин передаточная ф-я кот.м.б.опред-а из ур-я (2) W = M(p)/ D(p) Передаточной ф-ей САР наз-я отношение преобразования Лапласа выходной величины x к преобраз.Лапласа входн.сигнала g.

7. Классификация типовых звеньев системы автоматического регулирования.

Предлагаемая классификация типовых звеньев линейных систем внешне мало отличается от традиционной, в ней лишь добавлено звено третьего порядка, которое предлагается назвать звеном Вышнеградского, в честь автора знаменитой диаграммы. По существу же, отличие предлагаемой классификации более глубокое: она основывается на степени обладания звеном главными свойствами линейных систем. Итак, классификация следующая:

1. Простейшие или фундаментальные звенья:

   • пропорциональное;

   • интегрирующее;

   • дифференцирующее.

2. Звенья первого порядка:

   • апериодическое (инерционное);

   • форсирующее;

   • другие.

3. Звенья второго порядка:

   • колебательное;

   • апериодическое звено второго порядка (частный случай колебательного звена).

4. Звенья третьего порядка:

   • звено Вышнеградского;

   • другие звенья.

5. Звено запаздывания.

Включаемые в классификацию звенья обладают всеми свойствами предыдущих, более простых звеньев, а, кроме того, и еще одним, более сложным свойством. Как известно, звено Вышнеградского с передаточной функцией:

это самое простое из звеньев с положительными коэффициентами характеристического полинома, способных терять устойчивость. Это и является основанием для его включения в классификацию.