10.1.3. Методы решения нелинейных уравнений. Математическая основа геометрическая интерпретация, схема алгоритма, Pascal-программа.

10.1.3.1.Метод половинного деления

Рассмотрим данный метод на основе уравнения  f (x)=0. Допустим, y нас есть такой отрезок [a,b], на котором расположено значение корня  , т.е. а< <b ( -Кси).

В качестве начального приближения корня X₀ (рис.1) принимаем середину отрезка X₀=(a+b)/2. Далее исследуем значения функции: если f (X₀)=0, то X₀ является корнем уравнения, т.е.  =X₀. Если f (X₀)=0, то выбираем одну из половин отрезка [a,X₀] или [X₀,b], на концах которой функция f (x) имеет противоположные знаки, т.е. содержит искомый корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [X₀,b]. Вторую половину отрезка на концах которого знак f (х) не меняется, отбрасываем: в данном случае [a,X₀].

• Рис.1 Метод деления отрезка пополам

Отрезок [X₀,b] вновь делим пополам. Новое приближение: X₁=(X₀+b)/2. Вновь исследуем функцию f (x) на концах отрезка и отбрасываем отрезок [X₁,b], т.к. f(X₁)>0 и f (b)>0. Отрезок [X₀,X₁],на концах которого функция имеет противоположные знаки f(X₁)>0, f(X₀)<0, вновь делим пополам и получаем новое приближение корня X₂=(X₀+X₁)/2 и т.д. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка после n-ой итерации не станет меньше некоторого заданного малого числа (погрешности)  , т.е.

.

Тогда за искомое значение корня принимается полученное приближение Xn:  =Xn и говорят, что решение данного уравнения найдено с точностью  .

Схема алгоритма подпрограммы – процедуры Equat.

Подпрограмма-процедура Equat предназначена нахождения корня нелинейного уравнения.

Список формальных параметров: C,D,Eps,Km,Err,Z.

Входные данные:

1. C – верхняя граница интервала изоляции корня, тип – вещественный;

2. D – нижняя граница интервала изоляции корня, тип – вещественный;

3. Eps – погрешность вычисления корня, тип –вещественный;

4. Km – предельно допустимое количество повторов циклов, тип-целый;

Выходные данные:

1. Err – признак ошибки, тип-целый;

2. Z – корень нелинейного уравнения, тип – вещественный.

Схема алгоритма подпрограммы – функции F.

Подпрограмма-функция f предназначена для вычисления значения функции f

Список формальных параметров: Х.

Входные данные:

1. Х – аргумент функции, тип – вещественный.

{Текст подпрограммы - функции}

Function F(X:real):real;

begin

F:=exp(-x)-(sqr(x-1));

end;

{Teкст процедуры нахождения корня нелинейного уранения

методом половинного деления отрезка - дихометрия}

Procedure Equat(c,d,eps:real; km:integer; var err:integer; var z:real);

var

i:integer;

begin

err:=1;

for i:=1 to km do

begin

z:=((C+d)/2);

if abs(F(z))>Eps then

begin

if (F(c)*F(z))>0 then

c:=z else

d:=z;

end else

i:=km;

err:=err-1;

end;

end;

10.1.3.2.Метод хорд Теоритические сведения.

Для реализации данного метода, нужно построить исходную функцию y=F(x) и найти значения функции на концах отрезка F(a) и F(b). Затем провести хорду М₁M₂ c концами в точках М₁(a, F(a)) и M₂(b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хорды М₁M₂ с осью OX это и есть приближенный корень x₁. Далее найти точку M₃(X₁ ,F(x₁ )), построить следующую хорду и найти второй приближенный корень x₂. И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая:

Рис. 1

Рис. 2

Для первого случая (Рис. 1) справедлива следующая формула (8):

и справедливо неравенство: F(a)*F''(a)>0, где x₀=b.

Для второго случая (Рис. 2) справедлива следующая формула (9):

и справедливо неравенство: F(b)*F''(b)>0, где x₀=a.