Вопрос 21

Предел функции на бесконечности. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < . Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число bназывается пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа  < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < . Записывается это так:

Если  ,   или  , то говорят, что предел бесконечен.

Еще говорят, что предел не существует, если нельзя определить конкретное значение предела или его бесконечное значение ( ,   или  ). Например, предел от синуса на бесконечности не существует.

Вопрос 22

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x₀ (или при х х_о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n є N (x_nx₀), сходящейся к х_о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х_n), n є N, сходится к числу А

В этом случае пишут        или ƒ(х)—>А при х→х_о. Геометрический смысл предела функции:  означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х_о, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).

Число А называется пределом функции в точке х_о (или при х→х_о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все хх_о, удовлетворяющих неравенству |х-х_о|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех ххо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

Доказать, что

Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

 Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных Предел вида  ,  ,   и т.д.; в этих случаях функция f  называется бесконечно большой при х ® х₀, При х ® х₀ + 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например, означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенствоf (x) > e.

Вопрос 23

Функция имеет Предел в некоторой точке, если её Предел слева в этой точке равен её Предел справа. Понятие Пределфункции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности: ,  ,    Например,  означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x) - А½ < e.   Примером функций, всегда имеющих Предел, являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный Предел как слева, так и справа; в точке в Предел справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b Предел слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к Предел может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x) = x   при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.   Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования Предел функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точкеx₀ Предел в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х" и х"",удовлетворяющих условию ½х’ - x₀ ½ < d, ½x"" — x₀½ < d, x"  ¹ x₀, x"’ ¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x"" ) — f (x")½ < e.