Вопрос 19
Пусть 
—
это функция вещественного переменного 
,
определённая во всех точках интервала 
,
кроме, быть может, точки 
.
Дадим определение предела величины 
при
условии, что
стремится
к точке 
.
Это условие кратко обозначается 
.
Стремление
к
означает,
что при своём изменении
оказывается
во всё более узких окрестностях,
окружающих точку
,
но не совпадает с
,
то есть значение 
становится
всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но
нулём не становится. При этом может
оказаться, что соответствующие
значения
становятся
всё ближе и ближе к некоторому
фиксированному числу 
,
причём для любой, сколь угодно малой,
окрестности числа
можно
указать, насколько близко
должен
подойти к
,
чтобы значения
уже
попадали в эту окрестность числа
.
Тогда число
есть
предел функции 
при
условии
,
что записывается так:
Формализуем
сказанное для придания большей
математической ясности. Любая окрестность
точки
(симметричная
относительно
)
характеризуется её полушириной 
,
то есть имеет вид интервала 
.
Если значение
попало
в такую 
-окрестность,
то это означает, что 
.
Любая окрестность точки
,
не содержащая самой точки
(и
симметричная относительно
), —
это объединение двух смежных интервалов3 
.
Попадание точки
в
эту окрестность означает, что выполнено
неравенство 
и 
.
Равенство 
означает
тогда, что
для
любого, сколь угодно малого, числа
можно
найти такое число 
(зависящее
от
),
что при 
будет 
.
При
этом число
называется
пределом функции
при
условии
.
Тот факт, что 
,
записывают ещё в виде
Вопрос 20
Окрестностное определение по Коши
Значение
называется пределом (предельным
значением)
функции 
в
точке 
,
если для любой окрестности 
точки
существует
выколотая окрестность 
точки
такая,
что образ этой окрестности 
лежит
в
.
Фундаментальное обоснование данного
определения предела можно найти в
статье Предел
вдоль фильтра.
Предел
функции.
Пусть функция f,
принимающая действительные значения,
определена в некоторой окрестности
точки x0, кроме,
быть может, самой точки x0. Функция f имеет Предел в
точке x0, если
для любой последовательности точек xn,
n = 1,
2,..., xn ¹ x0,стремящейся
к точке x0, последовательность
значений функции f (xn)
сходится к одному и тому же числу А, которое
и называется пределом функции f в
точке x0, (или
при x ® x0)
при этом пишется
или
f (x)
® A при x
® x0
В
силу этого определения на Предел функций
переносятся свойства Предел суммы,
произведения и частного последовательностей,
а также сохранение неравенств при
предельном переходе.
Определение Предел функции
можно сформулировать и не прибегая к
понятию Предел последовательности:
число А называется
пределом функции f в
точке x0, если
для любого числа e > 0 существует такое
число d > 0, что для всех
точек х ¹ x0,удовлетворяющих
условию ½х
— x0½
< d,
x ¹ x0, выполняется
неравенство ½f (x) — A½
< e.
Все основные элементарные функции:
постоянные, степенная
функция хa, показательная
функция ax, тригонометрические
функцииsinx, cosx, tgx и
ctgx и обратные
тригонометрические
функции arcsinx, arccosx, arctgx и
arcctgx во
всех внутренних точках своих областей
определения имеют Предел,
совпадающие с их значениями в этих
точках. Но это не всегда бывает так.
Функция
,
являющаяся
суммой бесконечной геометрической
прогрессии со знаменателем q = 1/(1
+ x2), 0 < q < 1, в
точке х = 0
имеет Предел,
равный 1, ибо f (x) = 1 + x2 при x ¹
0. Этот Предел не
совпадает со значением функции f в
нуле: f (0)
= 0. Функция же
, x ¹
0,
вовсе
не имеет Предел при х ® 0, ибо
уже для значений xn = 1/(p/2
+ pn)
последовательность соответствующих
значений функцииf (xn) = (-1) n не
имеет Предел
Если Предел функции
при х ® х0 равен
нулю, то она называется бесконечно малой
при х ® х0. Например,
функция sinxбесконечно
мала при х ®
0. Для
того чтобы функция f имела
при х ® х0 Предел,
равный А, необходимо
и достаточно, чтобы f (x) =A + a(x), где
a(х)
является бесконечно малой при х ® х0
Если
при определении Предел функции f в
точке x0 рассматриваются
только точки х, лежащие
левее (правее) точки x0, то
получающийся Предел называется
пределом слева (справа) и
обозначается 
(соответственно 
).
Функция
имеет Предел в
некоторой точке, если её Предел слева
в этой точке равен её Предел справа.
Понятие Пределфункции
обобщается и на случай, когда аргумент
стремится к бесконечности:
, 
, 
Например,
означает,
что для любого e > 0 существует такое d
> 0, что для всех х, удовлетворяющих
условию x > d, выполняется неравенство
½f (x)
- А½ < e.
Примером функций, всегда имеющих Предел,
являются монотонные
функции. Так,
если функция f определена
на интервале (а,
b)
и не убывает, то в каждой точке х,
а < х < b, она
имеет конечный Предел как
слева, так и справа; в точке в Предел справа,
который конечен тогда и только тогда,
когда функция f ограничена
снизу, а в точке b Предел слева,
конечный в том и только в том случае,
когда функция ограничена сверху. В общем
же случае стремление к Предел может
носить разный, необязательно монотонный
характер. Например, функция f (x) = x 
при х ®
0 стремится к нулю, бесконечное число
раз переходя от возрастания к убыванию
и обратно.
Т. н. внутренний критерий (критерий Коши)
существования Предел функции
в точке состоит в следующем: функция f имеет
в точкеx0 Предел в
том и только в том случае, если для любого
e > 0 существует такое d > 0, что для всех
точек х" и х"",удовлетворяющих
условию ½х’
- x0 ½
< d, ½x""
— x0½
< d, x"
¹ x0, x"’ ¹ x0, выполняется
неравенство ½f (x"" )
— f (x")½
< e.
Для
функций, как и для последовательностей,
определяются понятия
бесконечных Предел вида 
, 
, 
и т.д.;
в этих случаях функция f
называется бесконечно большой
при х ® х0, При х ® х0 +
0 или При х ®
+¥ соответственно
и т.д. Например,
означает,
что для любого e > 0 существует такое d
> 0, что для всех х, удовлетворяющих
условию х <
-d, выполняется неравенствоf (x)
> e.