Лемма о вложенных отрезках
Определение 1. Множество, элементами которого являются отрезки, называется системой отрезков.
Определение
2. Система замкнутых отрезков 
называется
стягивающщей, если
1. 
,
т.е. каждый последующий отрезок расположен
внутри предыдущего;
2. 
,
т.е. длины отрезков стремятся к нулю.
Лемма о вложенных отрезках:
Для любой системы замкнутых стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Доказательство.
1.
Рассмотрим множество 
левых
концов наших отрезков. Очевидно, что
а) 
б)
Поэтому, по
предыдущей теореме,
существует конечный 
.
2.
Рассмотрим множество 
правых
концов наших отрезков. Очевидно, что
а) 
б) 
поэтому
существует конечный 
.
3.
Так как по условию 
,
то 
.
Обозначим этот общий предел через c:
.
4.
Так как
а
,
то очевидно что 
,
т.е. точка 
;
(она принадлежит всем отрезкам сразу).
5.
Докажем, что точка c единственная.
Предположим противное, что 
точка 
,
такая что
.
Но тогда было бы, что
что
противоречит тому, что
.
Отметим одну деталь: мы доказали не только существование точки c, принадлежащей всем отрезкам, но и то, что . Это будет нам надо в дальнейшем.
Вопрос 14 Число e
Прежде чем переходить к знаменитому в математике числу e, дадим без вывода одну железную формулу, которая называется биномом Ньютона.
Напомним,
что 
(читается:
n - факториал) есть произведение целых
чисел от 1 до 
:
По
определению считается
.
Выражение 
(читается 
из
по 
)
называется биноминальным коэффициентом. Другое выражение для
имеет вид
В
частности 
, 
, 
и
т.д.
Бином Ньютона имеет вид
или в более явном виде
Отсюда
легко получаются известные из школьного
курса выражения для 
, 
, 
и
т.д.
Рассмотрим теперь последовательность с членами
, 
.
1.
Получим другое выражение для
.
Используя формулу бинома Ньютона,
получим 
.
2.
Покажем, что
.
Для этого запишем рядом
и 
.
Так
как 
,
то 
, 
.
Поэтому каждое слагаемое в
больше
соответствующего слагаемого в
.
Кроме того, в
есть
“лишние” положительные слагаемое
которого
не было в
.
Поэтому 
.
3. Покажем теперь, что ограничена сверху.
Действительно,
так как 
,
то
.
Но так как
и
вообще 
то 
<
и
где в процессе выкладок использована формула для суммы геометрической прогрессии.
Итак,
монотонно
возрастает и 
.
Поэтому существует 
который
и называется числом e.
.
Это число чрезвычайно популярно в математике и в дальнейшем будет постоянно встречаться.
Вопрос 15
Признаки существования предела
1.
Если 
и 
,
то 
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
(критерий Коши).
Для
рассмотренной последовательности 
в 
-окрестность
точки нуль при 
попадают
все члены последовательности, кроме
первых десяти, а при 
-
все члены последовательности, кроме
первых ста.
Последовательность,
имеющая предел, называется сходящейся,
а не имеющая предела - расходящейся. Вот
пример расходящейся последовательности: 
.
Ее члены попеременно равны 
и 
и
не стремятся ни к какому пределу.