Вопрос 11

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ СВОЙСТВА  

Функция α(х) называется бесконечно малой при     , если  ,  

т. е. для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 

, 

выполняется неравенство 

 . 

 

Бесконечно малую функцию α(х) называют бесконечно малой величиной или просто  бесконечно малой.  

Функция f (х) называется ограниченной при   , если существуют положительные числа М и δ, такие, что при условии  , выполняется неравенство   .  

 

Например, любая бесконечно малая α(х) является  ограниченной функцией при  .  

В дальнейшем будем рассматривать  бесконечно малые при  .  

Свойства бесконечно малых.  

1. Если функции   и   являются  бесконечно малыми, то функция   также есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай  алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.  

2. Произведение ограниченной при    функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.  

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.  

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое  конечное число бесконечно малых.  

Вопрос 12 Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей

     Если две последовательности {x_n} и {y_n} имеют пределы, равные соответственно a и b, то:

     а) Последовательность {x_n   y_n} имеет предел равный a   b, т. е.

     Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых.

     б) Последовательность {x_n   y_n} имеет предел равный ab, т. е.

     Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

     Постоянный множитель можно выносить за знак предела   при любом постоянном k.

     с) Последовательность   имеет предел равный  , т. е.

при условии, что все y_n не равны нулю и  .

Вопрос 13 Предел монотонной последовательности

Определение. Последовательность   называется

- монотонно возрастающей (неубывающей), если    ;

- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если    ;

- монотонно убывающей (невозрастающей), если    ;

- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если    ;

Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом  , монотонно убывающие - символом  .

Сейчас докажем одну из важнейших теорем.

Теорема:

1. Если последовательность   монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность   монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то  .

Доказательство.

Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.Е. Такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства  . Их было два

1. 

2. 

Но учтем теперь что  . Это значит, что    . Тогда имеем следующую цепочку неравенств

Выбрасывая лишнее получим, что     или  , что и говорит о том, что  .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества  .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .

Но  . Значит,     и поэтому можно записать    . Выбрасывая в этом неравенстве  , получим окончательно

что и говорит о том, что .