Вопрос 2
Вещественные или действительные числа — математическая абстракция,
служащая в частности для
представления физических
величин.
Такое число может быть интуитивно
представлено как отношение двух величин
одной размерности,
или описывающие
положение точек на прямой. Множество вещественных
чисел обозначается 
и
часто называется вещественной или числовой прямой.
Формально вещественные числа строятся
на базисе более простых объектов таких,
как целые и рациональные числа. Свойства
вещественных чисел являются важнейшим
объектом изучения математического
анализа.
Непреры́вность
действи́тельных чи́сел —
свойство системы действительных
чисел 
,
которым не обладает множество рациональных
чисел
.
Иногда вместо непрерывности говорят
ополноте
системы действительных чисел[1].
Существует несколько различных
формулировок свойства непрерывности,
наиболее известные из которых: принцип
непрерывности действительных чисел
по Дедекинду, принцип
вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема
о точной
верхней грани.
В зависимости от принятого определения
действительного числа,
свойство непрерывности может либо
постулироваться как аксиома —
в той или иной формулировке, либо
доказываться в качестве теоремы[2].
Аксиома непрерывности
Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа [3].
Геометрическая иллюстрация аксиомы непрерывности
Аксиома
непрерывности (полноты). Каковы
бы ни были непустые множества 
и 
,
такие что для любых двух
элементов 
и 
выполняется
неравенство 
,
существует такое число 
,
что для всех
и
имеет
место соотношение
Геометрически,
если трактовать действительные числа
как точки
на прямой,
данное утверждение представляется
очевидным. Если два множества 
и 
таковы,
что на числовой прямой все элементы
одного из них лежат левее всех элементов
второго, то найдется число
, разделяющее эти
два множества, то есть лежащее правее
всех элементов
(кроме,
возможно, самого
)
и левее всех элементов
(та
же оговорка).
Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:
Легко
видеть, что для любых элементов
и
выполняется
неравенство 
.
Однако рационального числа
,
разделяющего эти два множества, не
существует. В самом деле, этим числом
может быть только 
,
но оно не
является рациональным.
Вопрос 3 Непрерывность по Дедекинду
Дадим теперь точную формулировку непрерывности по Дедекинду, применимую к произвольному линейно упорядоченному множеству.
Определение. Пусть 
—
линейно упорядоченное множество.
Упорядоченнная пара
множеств
и 
называется сечением в
,
а сами множества
и
—
соответственно нижним
и верхним классами данного
сечения, если удовлетворены следующие
условия:
1. Классы непусты:
2. Каждая элемент принадлежит по крайней мере одному из классов
3. Каждый элемент нижнего класса меньше любого элемента верхнего класса:
Сечение
мы будем обозначать 
.
Определение. Линейно упорядоченное множество называется непрерывным (по Дедекинду), если каково бы ни было его сечение, либо в нижнем классе сечения существует наибольший элемент, а в верхнем нет наименьшего; либо в верхнем классе существует наименьший элемент, а в нижнем нет наибольшего (такие сечения называются дедекиндовыми).
В
качестве примера рассмотрим множество
рациональных чисел. Легко видеть, что
в нём не может быть скачков: если
—
максимальный элемент нижнего класса,
—
минимальный элемент верхнего класса,
то число 
,
лежащее посередине между
и
,
не может принадлежать ни нижнему, ни
верхнему классу, что противоречит
определению сечения.
Вместе с тем, в множестве рациональных чисел есть пробелы — как раз на тех местах, где должны находиться иррациональные числа. Рассмотрим, например, сечение , определяемое множествами
Нетрудно видеть, что это действительно сечение, однако в нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем нет минимального. То есть имеем пробел.