Вопрос 43

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.  Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.  Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.  Откуда  f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Вопрос 44 Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на   и гладких на   функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если  , то имеется точка   максимума или минимума, в которой   обращается в нуль.

• Теорема Лагранжа: существует такая точка  , что

• Теорема Коши: если   на  , то существует такая точка  , что

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке   найдутся такие точки  , что

где

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке   по известным значениям функции и её производных в точке  .

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если   или  , и   на  , то

причём существование второго предела влечёт существование первого.

Вопрос 45 Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции fи обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

Вопрос 46

Формула Тейлора для многочленов. Рассмотрим следующую простую задачу. Дан многочлен по степеням х:  . Требуется представить функцию Р3(x) в виде многочлена по степеням (x+2). Решение: представим х в виде (х+2)-2. Тогда 

Решим эту задачу по другому: попытаемся выразить коэффициенты разложения многочлена по степеням (x+2) через производные функции Р3(x). Действительно, если  , то а0 = Р3 (-2) = 3(-2)3-4(-2) 2+5=

=-11 (первые три слагаемых в правом представлении при подстановке х = -2 обращаются в нуль). Дифференцируя Р3(x), получим  . Подстановка в это равенство х = -2 даёт а1 = Р3'(-2) = 9(-2) 2-4= 32. Находим Р''3 (x):  , откуда при х = -2 получим  . Находим Р3'''(x):

, откуда  .

 Рассмотрим эту задачу в общем случае: пусть 

выразим коэффициенты этого многочлена через его производные в точке х0. Взяв х = х0, получим  . Дифференцируем  :

Следовательно,  . Находим вторую производную  :

 

Следовательно,  . Находим третью производную  :

Следовательно,  . Далее, находя четвёртую производную, получим   и т.д. Окончательно:  , i = 0,1,2,…,n, и

Эта формула и называется формулой Тейлора для многочленов. (Под производной функции f(x) нулевого порядка понимается сама функция f(x); напомним, что 0! = 1 по определению).

1 Карл Вейерштрасс (1815—1897) — выдающийся немецкий мате­матик.

2