Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
матан.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
1.76 Mб
Скачать

Вопрос 40

Т е о р е м а  1. Если функция   имеет производную в точке  , а функция   имеет производную в точке  , то сложная функция

                                                     (1)

имеет производную (по  ) в точке   и справедливо равенство

                                                      (2)

или

.                                                             (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим  , ему соответствует значение  . Придадим   приращение  , это вызовет приращение  . Так как функция   имеет производную в точке  , то на основании равенства (2) § 4.1, имеем

,                                               (4)

где   при  .

Будем считать, что  . Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него  , то получится  .

Разделим теперь равенство (4) на  :

.                                               (5)

Пусть    стремится к нулю. Тогда  , потому что функция   имеет производную в точке   и, следовательно, непрерывна.

Переходим в равенство (5) к пределу при  . Тогда   и  , поэтому получим

.

Теорема доказана.

Вопрос 41

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства:  где α – бесконечно малая в окрестности   функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x0 + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить: 

Линейную функцию   называют дифференциалом функции f в точке   и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке   равна 1, то есть   Поэтому пишут: 

Приближенное значение функции вблизи точки   равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: 

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции.

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Вопрос 42

Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x0, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0), тогда сложная функция y =f(u(x)) дифференцируема в точке x0, причем

 

 

df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx.

 

Так как u '(x0)dx = du, то

 

df(u(x)) = f '(u0)du

 

Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.

Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью)

Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно лишь форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала фкнкции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала от независимой переменной

u - независимая переменная

 

y = f(u); dy = f '(u)du; du = Δu

 

u - функция некоторой переменной x

 

y = f(u(x)); dy = f '(u)du; du ≠ Δu

 

так как Δu = du + α(Δx)Δx; α(Δx) - б.м.ф. при Δx→0

Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]