
- •Вопрос 1 Множество рациональных чисел
- •Вопрос 2
- •Аксиома непрерывности
- •Вопрос 3 Непрерывность по Дедекинду
- •Вопрос 4
- •Используемые определения
- •[Править]Определения
- •[Править]Замечание
- •Вопрос 5 Десятичная запись вещественного числа
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8 Вещественный логарифм
- •Вопрос 9
- •Определение
- •Вопрос 10 Свойства [править]Арифметические свойства
- •[Править]Свойства сохранения порядка
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12 Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей
- •Вопрос 13 Предел монотонной последовательности
- •Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.Е. Такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .
- •Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .
- •Лемма о вложенных отрезках
- •Вопрос 14 Число e
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18 Основные элементарные функции. Элементарные функции
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27 Первый замечательный предел
- •Вопрос 28 Второй замечательный предел
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Вопрос 33
- •Вопрос 34
- •Вопрос 35
- •Вопрос 36
- •Вопрос 37
- •Вопрос 40
- •Вопрос 41
- •Вопрос 42
- •Вопрос 43
- •Вопрос 44 Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Вопрос 45 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Вопрос 46
Вопрос 40
Т
е о р е м а 1. Если функция
имеет
производную в точке
,
а функция
имеет
производную в точке
,
то сложная функция
(1)
имеет производную (по ) в точке и справедливо равенство
(2)
или
.
(3)
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Зададим
,
ему соответствует значение
.
Придадим
приращение
,
это вызовет приращение
.
Так как функция
имеет
производную в точке
,
то на основании равенства (2) § 4.1, имеем
,
(4)
где
при
.
Будем
считать, что
.
Равенство (4) при этом соглашении
выполняется, т. к. если подставить в
него
,
то получится
.
Разделим теперь равенство (4) на :
.
(5)
Пусть
стремится
к нулю. Тогда
,
потому что функция
имеет
производную в точке
и,
следовательно, непрерывна.
Переходим
в равенство (5) к пределу при
.
Тогда
и
,
поэтому получим
.
Теорема доказана.
Вопрос 41
Итак,
график дифференцируемой функции в
окрестности каждой своей точки сколь
угодно близко приближается к графику
касательной в силу равенства:
где
α – бесконечно малая в окрестности
функция.
Для приближенного вычисления значения
функции f в
точке x0 + Δx эту
бесконечно малую функцию можно отбросить:
|
Линейную
функцию
называют дифференциалом
функции f в
точке
и
обозначают df.
Для функции x производная
в каждой точке
равна 1,
то есть
Поэтому
пишут:
|
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:
|
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
|
Модель 3.3. Дифференциал функции. |
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.
Вопрос 42
Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x0, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0), тогда сложная функция y =f(u(x)) дифференцируема в точке x0, причем
|
df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx. |
|
Так как u '(x0)dx = du, то
|
df(u(x)) = f '(u0)du |
|
Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.
Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью)
Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно лишь форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала фкнкции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала от независимой переменной
u - независимая переменная
|
y = f(u); dy = f '(u)du; du = Δu |
|
u - функция некоторой переменной x
|
y = f(u(x)); dy = f '(u)du; du ≠ Δu |
|
так как Δu = du + α(Δx)Δx; α(Δx) - б.м.ф. при Δx→0
Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают