Вопрос 35

Первая теорема Больцано-Коши.Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(a)<0, f(b)>0. Ситуация выглядит так:

Для доказательства теоремы снова используем метод деления отрезка пополам.

1. Деление отрезков пополам.

Разделим отрезок [a, b] пополам. Середина его будет точка  . Тогда возможны такие варианты:

а) . В этом случае, взяв  , теорему можно считать доказанной.

б)  . В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок  , который обозначим [a₁, b₁].

в)  В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок  , который обозначим [a₁, b₁].

Проделаем такую же процедуру с отрезком [a₁, b₁], получив отрезок [a₂, b₂], затем то же самое с отрезком [a₂, b₂], получив отрезок [a₃, b₃] и т.д. Заметим, что для дальнейшего рассмотрения все время оставляется тот отрезок, для которого f(a_n)<0 и f(b_n)>0.

2. Построение точки С.

В результате этой процедуры возможны два варианта.

А. На каком-то шаге n получится, что . В этом случае в качестве точки С следует взять   и теорема будет доказана.

Б. .

В этом случае мы получаем систему отрезков [a_n, b_n], для которой

а) [a,b][a₁, b₁] [a₂, b₂][a₃, b₃]…

б)

в)f(a_n)<0; f(b_n)>0

Но тогда, по лемме о вложенных отрезках, существует  . Используя непрерывность функции f(x), получим

т.к. всегда было f(a_n)<0, f(b_n)>0. Сравнивая эти два неравенства получим, что f(c)=0, что и требовалось доказать.

Вопрос 36

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что  x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.

1. Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a,b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка x[a,b], что f(x)>A.

Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда  , что f(x_n)>n.Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {x_n}[a,b] и удовлетворяющую свойству f(x_n)>n.

2. Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {x_n} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_n}, т.е. . В силу замкнутостиотрезка [a, b] точка c [a,b]. (Отметим,что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a,b]. Если бы, например, был (a,b), то с могла бы и не принадлежать (a,b)).

3. Сведение к противоречию.Т.к. согласно п.1  , то, переходя к пределу kполучим  т.е. f(c)=+, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b],что означает, что f(c) должна иметь конечное значение.

Вопрос 37

Рассмотрим произвольную внутреннюю точку x0 области определения функции y = f(x).

Разность

где x - также внутренняя точка области определения, называется

приращением аргумента в точке x0. Разность

называется

приращением функции в точке x0, соответствующим приращению

и обозначается

  

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения

функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, т.е.