Вопрос 29

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5.  для  , 

6. 

Доказательства следствий

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Вопрос 30

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀ (включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0  f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

 O( f(x0) )      O(x0) :     x  O(x0)  f(x)  O( f(x0) ) .

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:

lim x → x0  f(x) = f ( lim x → x0  x ),

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть Δx = x − x₀ — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x₀ ) — соответствующее приращение функции.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда

lim Δx → 0  Δy = 0.

(2)

Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x₀, x₀ + δ ).

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x₀, если существует односторонний предел

lim x → x0 + 0  f(x) = f(x0).

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x₀ − δ, x₀].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x₀, если существует односторонний предел

lim x → x0 − 0  f(x) = f(x0).

Вопрос 31

5.3.1. Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х ( для 0 возьмём  = , тогда если  х- х0, то  f(х)- f(х0) =  х- х0=).

Функция y(х)= х2 = х х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

По индукции функция y(х)= хn = хn-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= аnхn, где аn=C=const.

Рациональная функция   непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций.

5.3.2. Непрерывность дробно-рациональных функций:   непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

Непрерывность показательной функции  . Требуется доказать, что  . Рассмотрим разность (формула 6 табл.4.4.10)    . Эта разность - БМ функция при х х0, следовательно, ах   при при х х0.

 Непрерывность логарифмической функции  . По формуле 7 табл.4.4.10 эквивалентных БМ  

5.3.5. Непрерывность тригонометрических функций: а.  . 

 при х  х0 (мы воспользовались неравенством |sin х || х|, доказанным в 4.4.7.1. Первый замечательный предел).

б.   непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

в. Функции   и  непрерывны в точках, в которых они определены, как частное непрерывных функций.

5.3.6. Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx0), так как они определяются через непрерывную функцию ех. Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию ln x.

 Мы доказали непрерывность основных элементарных функций (кроме обратных тригонометрических, о которых ниже). Отсюда следует непрерывность всех элементарных функций в любой точке их областей определения, так как они определяются как функции, получающиеся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.

 5.3.7. Из доказанного следует непрерывность показательно-степенной функции  ,  , так как она представляется в виде  , т.е. в виде суперпозиции непрерывных показательной и логарифмической функций.