Поверхня рівня

Скалярний поле можна представити графічно за допомогою поверхонь рівня (також званої ізоповерхностямі).

Поверхнею рівня скалярного поля  називається безліч точок простору, в яких функція u приймає одне і те ж значення c , тобто поверхня рівня визначається рівнянням  . Набір поверхонь рівня для різних c дає наочне уявлення про конкретний скалярному полі, для якого вони побудовані (зображені) ^[4] , крім того, уявлення про поверхнях рівня дає певний додатковий геометричний інструмент для роботи зі скалярним полем, який може використовуватися для обчислень, докази теорем ітп. Приклад: Еквіпотенціальна поверхню .

Для поля на двовимірному просторі аналогом поверхні рівня є лінії рівня . Приклади: Ізобати , ізотерма , горизонталь на географічній карті та інші ізолінії .

Поверхнями рівня для скалярного поля на просторі більшої розмірності є гіперповерхні розмірності на одиницю меншою, ніж розмірність простору.

Градієнт

Основна стаття: Градієнт

Напрямок якнайшвидшого зростання поля  вказує вектор градієнта, позначуваний стандартно

,

або

,

з компонентами:

.

(Наведено формулу для тривимірного випадку, на інші розмірності вона узагальнюється прямо і тривіально).

• Якщо координати не декартові (базис не ортонормованій) суттєво зауважити, що наведені вище компоненти градієнта є компоненти коваріантного, тобто градієнт скалярного поля є ко-векторне поле. Для ортономірованних базисів це не суттєво, так як для них поняття вектора та ко-вектора можна вважати співпадаючими, як і коваріантного і контраваріантние координати.

Абсолютна величина вектора градієнта u є похідна u у напрямку якнайшвидшого зростання (швидкість росту u при русі з одиничною швидкістю в цьому напрямку).

Градієнт завжди перпендикулярний поверхням рівня (в двовимірному випадку - лініям рівня). Виняток - особливі точки поля, в яких градієнт дорівнює нулю.

Ве́кторне по́ле — векторнозначна функція, відображення, яке кожній точці даного простору ставить у відповідність вектор. У сучасній диференціальній геометрії розглядається також узагальнення на довільнімноговиди.

Коли початковий простір — евклідовий (cкінченовимірний векторний простір зі скалярним добутком), поняття векторного поля стає наочним, і тоді векторне поле інтерпретується як спосіб завдання рухів деякоїдинамічної системи: вектор в даній точці описує напрям і швидкість руху точки по фазовій кривій.

Якщо вибрати декартову систему координат, то поле може бути представлене як:

Математичні операції над векторними полями вивчають у векторному аналізі.

Серед характеристик векторного поля   відрізняють диференціальні, що стосуються поведінки поля в окремих точках (дивергенція   і ротор  ), та інтегральні, що описують поле вздовж контура (циркуляція) або крізь певну поверхню (потік).

Диференціальні і інтегральні характеристики векторного поля пов'язані між собою теоремами Гауса,Остроградського та Стокса.

Для поля механічного походження, дивергенція і потік характеризують наявність джерел та стоків у полі, а ротор і циркуляція — обертальну здатність поля.

Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля пообъёму, ограниченному этой поверхностью:

то есть интеграл от дивергенции векторного поля  , распространённый по некоторому объёму  , равен потоку вектора через поверхность  , ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

где   и   — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи   — элемент объёма,   — элемент поверхности.   — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.