Означення

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Розглянемо неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб’ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,..., M_n=B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;...; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму . Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB. Нехай   - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо   ( ) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по крвій AB і позначають  або  . Таким чином, за означенням .

Теорема про існування криволінійного інтеграла і роду

Якщо функція f(x;y) неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці   існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл І роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.

Властивості криволінійного інтеграла і роду

1.  , тобто криволінійний інтеграл І роду не залежить від напрямку інтегрування. 2.  , тобто сталий множник можна виносити за знак інтегралу. 3.  , тобто інтеграл суми(різниці) дорівнює сумі(різниці) інтегралів. 4.  , якщо шлях інтегрування L розбито на частини L₁ і L₂ такі, що   і L₁ та L₂ мають єдину спільну точку. 5. Якщо для точок кривої L виконується нерівність  , то  6.  , де l - довжина кривої AB. 7. Якщо функція f(x;y) неперервна на кривій AB, то на цій кривій знайдеться точка (x_c;y_c) така, що   (теорема про середнє).

Обчислення криволінійного інтегралу І роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга AB в параметричному вигляді: , тобто x(t), y(t), z(t) є неперервними на [α, β]. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій  Для двовимірного випадку:

Явне задання кривої інтегрування

Полярне задання кривої інтегрування

Нехай в полярній системі координат крива задана функцією  То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій

Застосування криволінійного інтегралу І роду

Визначення маси кривої

Визначення довжини кривої

Означення

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб’ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,..., M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;...; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму , де   - проекція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x. Нехай   - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо   ( ) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i) , то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають  або  . Таким чином, за означенням . Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y: , де   - проекція дуги M_i-1M_i на вісь Oy. Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині: Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:

Теорема про існування

Властивості криволінійного інтеграла І роду

Обчислення криволінійного інтегралу І роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Явне задання кривої інтегрування

Формула Ґріна

Основна стаття: Формула Ґріна

Нехай функція Р(х,у) та її частинна похідна dP(x,y)/dy неперервна в області D і на її межі.Функції у=у1(х) , у=у2(х) неперервні на [a,b].Тоді обчислимо :

Подвійний інтеграл по D dP(x,у)/dy*dxdy=...

Скалярний поле

[ правити ]

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Якщо кожній точці M деякої області деякого простору (найчастіше мається на увазі, що розмірність цього простору більше одиниці) поставлено у відповідність деяке (зазвичай - дійсне ) число u , то говорять, що в цій області задано скалярне поле. Іншими словами, скалярне поле - це функція , що відображує R ^N в R ( скалярна функція точки простору). Точка простору при цьому на практиці може бути зазначена або просто символічно, або за допомогою вектора (якщо простір може бути представлене як векторне) або набором координат.

Частіше за інших в додатках зустрічаються:

• Функція трьох змінних:  (скалярний поле на (в) тривимірному просторі, зване іноді ^[1] просторовим полем).

• Функція двох змінних:  (скалярний поле на (в) двовимірному просторі, зване іноді ^[1] плоским полем).

• У фізиці та багатьох інших додатках поле, як правило, взагалі кажучи залежить також від часу ^[2] :

,

що означає, що в деякому сенсі ми маємо в цьому випадку справу з полем на просторі на одиницю більшої розмірності 4-мірному, але й термінологічно це залишається прихованим, і, головне, операції над полем (такі, як градієнт ) використовуються при такому викладі все ж, як і раніше 3-мірні, тобто, незважаючи на додавання ще однієї незалежної змінної, по суті при цьому поле розглядається як поле в просторі розмірності 3, а не 4. (Ті ж міркування стосуються випадків, коли поле залежить крім просторових координат ще від якихось інших параметрів: ці параметри можуть бути явно зазначені у функціональній залежності, що однак не змінює розмірності основного простору, в якому розглядається поле).

• У сучасній теоретичній фізиці прийнято явним чином розглядати час як координату, формально рівноправну трьох просторових ^[3] , а сукупність простору і часу розглядається явно як єдине чотиривимірний простір (зване простором-часом ). Таким чином, говорячи про скалярному полі в сучасній теоретичній фізиці, за замовчуванням увазі поле на чотиривимірному просторі або різноманітті , тобто функцію, залежну від чотирьох формально рівноправних координат:

(Одна з цих чотирьох координат  дорівнює або пропорційна часу), більш того, при цьому, якщо використовують термін скалярний поле , ще й мається на увазі, що u -Лоренц-інваріантної . Всі операції над полем (такі, як градієнт) при цьому використовуються в їх чотиривимірному вигляді.

Зазвичай від скалярної функції кількість разів (тобто функція повинна належати C ^M ).

Приклади скалярних полів на тривимірному просторі: температура (мається на увазі, що вона взагалі кажучи різна в різних точках простору); електростатичний потенціал ;потенціал в ньютонівської теорії тяжіння; поле тиску в рідкому середовищі.

Приклади поля на двовимірному просторі (на площині): глибина моря, зазначена яким-небудь чином на плоскій карті; щільність заряду на плоскій поверхні провідника.

• Зазвичай під скалярним полем розуміється поле, інваріантне при перетвореннях координат (іноді, і нерідко - при певному класі перетворень координат, наприклад, при перетвореннях, що зберігають об'єм, ортогональних перетвореннях і т. п.; але не менш рідко мається на увазі інваріантність скалярного поля при довільних перетворень координат, обмежених, бути може, тільки гладкістю). (Див. скаляр ).

  • У цьому сенсі далеко не кожна вещественнозначная функція координат є скалярним полем. Найпростіший приклад: в цьому сенсі не є скалярним полем одна з координатних компонент векторного поля , так як при зміні вибору координат (наприклад, при повороті координатних осей) вона не залишиться незмінною (тобто не є інваріантом перетворень координат).

• Під скалярним полем в сучасній теоретичній фізиці розуміється звичайно (якщо мова йде про фундаментальні полях) фундаментальне поле скаляра простору Мінковського ( Лоренц-інваріантне поле) або поле, інваріантне щодо общекоордінатних перетворень, (звичайно перше і друге практично збігається).

  • Практичними синонімами терміна скалярний поле в цьому сенсі є терміни полі спина нуль , частка спина нуль , скалярна частинка (останні, все ж кілька розводячи ці близькі поняття, називають також збудженнями скалярного поля).

  • Експериментально (поки) не відкрито жодного фундаментальне скалярний поле. Однак такі поля відіграють чималу роль в теоретичних побудовах (існують важливі гіпотетичні скалярні поля, наприклад, поле Хіггса ), а також їх наявність (поряд з векторними і тензорними полями , що розуміються в тому ж сенсі і спостережуваними реально) необхідно для повноти класифікації фундаментальних полів.

• У нових фізичних теоріях (таких, як наприклад теорія струн ) часто мають справу з просторами і різноманіття різної розмірності, в тому числі і достатньо високою (більше чотирьох), і полями, в тому числі скалярними полями, на таких просторах.