2.5. Дисперсия непрерывной случайной величины

Напомним (п. 1.7), что дисперсия служит мерой рассеивания значений случайной величины вокруг математического ожидания и определяется как математическое ожидание квадрата отклонения:

.

Квадрат отклонения является частным случаем функции случайного аргумента , а именно, когда

.

Поэтому, в соответствии с общей формулой (14), для дисперсии непрерывной случайной величины с плотностью получаем формулу:

(15)

Если несобственный интеграл в формуле (15) расходится, то считают, что дисперсия не существует.

Свойства дисперсии непрерывной случайной величины также аналогичны свойствам дисперсии в дискретном случае (п. 1.6); перечислим их заново:

1. .

2. .

3. .

4. Если случайные величины и независимы, то

.

Для непрерывной случайной величины сохраняется определение среднего квадратического отклонения:

.

2.6. Нормальное распределение

Определение: Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) с параметрами и , если ее плотность имеет вид:

. (16)

График плотности нормального распределения, изображенный на рис. 4, называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

p(x)

x

a

Рис. 4.

Из графика видно, что из интервалов значений одинаковой длины более близкие к имеют большую вероятность, попадание в них происходит чаще. При удалении от вероятность попадания в интервал уменьшается.

Такое поведение вероятностей, а значит, и относительных частот, характерно для многих случайных величин. Например, если — средний рост, а — рост произвольно выбранного человека, то люди, чей рост близок к среднему, встречаются часто, а «великаны» и «карлики» — крайне редко.

Замечание. При плотность нормального распределения является дифференциальной функцией Лапласа [13]:

.

Функция распределения в этом случае задается выражением:

,

где — интегральная функция Лапласа. Итак,

.

Зависимость нормальной кривой от параметра (при постоянном ) изображена на рис. 5. Вертикальная прямая является осью симметрии нормальной кривой.

p(x)

x

a₁

a₁

Рис. 5.

Зависимость нормальной кривой от параметра (при постоянном ) изображена на рис. 6. При увеличении кривая становится более пологой, так что далекие от значения случайной величины приобретают большую вероятность, реализуются чаще; разброс значений вокруг при этом увеличивается.

Рис. 6.

Эти свойства нормальной кривой проясняет

Теорема (о вероятностном смысле параметров и ). Для случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами и : ;

Доказательство. При вычислении интегралов, выражающих и , воспользуемся заменой переменной. В соответствии с формулой (13):

.

В полученном выражении первое слагаемое является сходящимся интегралом от нечетной функции по симметричному промежутку и поэтому равно нулю. Второе слагаемое представляет собою умноженный на интеграл Пуассона, про который известно, что он равен :

(в этом смысл множителя в формуле для плотности: — он обеспечивает выполнение равенства (10) ). В результате получаем: .

Аналогичными вычислениями устанавливается и равенство . ▄

Получим выражение для функции распределения произвольного нормального закона с параметрами и :

(проводим замену переменной)

.

Нормальное распределение играет исключительно важную роль при математическом описании многих процессов, имеющих вероятностную, случайную (говорят также: — стохастическую — природу).