1.9. Биномиальное распределение

Определение. Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (распределена по биномиальному закону), если ее возможные значения

выражают число успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха , а соответствующие вероятности равны вероятностям числа успехов: . Таким образом, закон биномиального распределения имеет вид:

.

Для отыскания числовых характеристик биномиального распределения — математического ожидания и дисперсии — введем вспомогательные случайные величины: — индикатор -го испытания ( ):

, если в -м испытании имела место неудача;

, если в -м испытании имел место успех.

Случайные величины независимы, поскольку связаны с исходами независимых испытаний, и имеют одинаковые законы распределения . Найдем их числовые характеристики:

;

.

Исходная случайная величина (число успехов) равна сумме индикаторов: (в сумме справа столько единиц, сколько раз в испытаниях имел место успех, а остальные слагаемые равны нулю).

По свойствам математического ожидания и дисперсии:

;

.

Итак, для случайной величины , имеющей биномиальное распределение,

.

1.10. Распределение Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина с бесконечным множеством значений распределена по закону Пуассона с параметром , если она принимает значения с вероятностями

.

Распределение Пуассона имеют случайные величины, описывающие, например, работу АТС (пример системы массового обслуживания), катодную эмиссию электронов.

Найдем математическое ожидание и дисперсию распределения Пуассона, имея в виду, что

— ряд Маклорена для показательной функции.

1) . Первое слагаемое ряда равно нулю из-за множителя ; далее, при после сокращения в каждом слагаемом ряда получаем: . Поэтому, вынося постоянный множитель за знак ряда, получаем:

.

2) Используем для вычисления дисперсии формулу (7) и уже известное значение математического ожидания.

.

Случайная величина имеет закон распределения

.

Поэтому

.

Каждую дробь в скобках представляем в виде суммы двух слагаемых:

; ; …;

и т. д.

Группируя сначала все первые слагаемые, а затем из суммы вторых слагаемых вынося общий множитель , получаем:

.

Отсюда по формуле (7): .

Итак, для случайной величины , имеющей распределение Пуассона с параметром : .

Глава 2. НепрерыВные случайные Величины

2.1. Плотность непрерывной случайной величины

Напомним, что функция распределения случайной величины определяется формулой: .

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная кусочно–непрерывная функция , интегрируемая на и такая, что функция распределения представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

.

Функция называется в этом случае плотностью распределения случайной величины.

Свойства плотности распределения.

1. В точках непрерывности плотность является производной функции распределения:

. (9)

В случае, когда плотность непрерывна на всей числовой оси, это следует из теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом [12]. ▄

Следствие. В точках непрерывности плотности функция распределения дифференцируема (а значит, и непрерывна) и является первообразной для плотности.

2. . (10)

Доказательство. По определению несобственного интеграла

. ▄

4. Для непрерывной случайной величины вероятность принять значение из полуоткрытого промежутка («вероятность попадания в промежуток») равна интегралу от плотности по этому промежутку:

. (11)

Доказательство. По свойству функции распределения:

▄

Замечание. Поскольку определенный интеграл в формуле (11) равен площади криволинейной трапеции для плотности , то при одинаковой длине промежутков больше вероятность попадания в тот из них, у которого больше площадь соответствующей криволинейной трапеции. Так, для плотности, график которой изображен на рис. 3, вероятность попадания в промежуток больше, чем вероятность попадания в промежуток .

p(x)

0

1 2 3 4 x

Рис.3.