1.8. Свойства дисперсии
1. Для дисперсии справедлива формула:
.
(7)
Доказательство. По свойствам математического ожидания
.
Во
втором слагаемом постоянный множитель
вынесем за знак математического ожидания;
в третьем слагаемом математическое
ожидание константы
равно
самой этой константе. В результате
получаем:
.
▄
2.
.
Действительно, формулы (5) и (6) приводят к суммам неотрицательных слагаемых. ▄
3.
.
Доказательство. Применим формулу (7):
.
▄
4.
Если случайная
величина
является постоянной («неслучайной»)
величиной:
,
то есть имеет закон распределения
|
|
|
|
то
.
Доказательство.
По свойству математического ожидания
.
Поэтому в формуле (7) для дисперсии
.
▄
5. Обратно, если , то случайная величина является постоянной: .
Доказательство.
Пусть,
—
дискретная случайная величина, и
.
Если бы она с ненулевыми вероятностями
принимала по крайней мере два разных
значения, то есть имела закон распределения
,
то
,
поскольку, по крайней мере, одно слагаемое строго больше нуля. ▄
6.
Теорема сложения для дисперсии.
Если случайные величины
и
независимы,
то
.
Доказательство.
По теореме умножения для математических
ожиданий
.
Применим к
формулу (7):
.
▄
Замечание.
Аналогичное
утверждение имеет место и для суммы/разности
нескольких независимых случайных
величин. Например,
.
Лемма (о независимости константы). Если случайная величина является постоянной: , то есть с вероятностью принимает значение , то для всякой случайной величины имеет место независимость и .
Доказательство.
Пусть
и
произвольные промежутки. Рассмотрим
два возможных случая.
1.
.
Тогда событие
является достоверным, и
.
Далее,
,
так что условие независимости выполнено.
2.
.
Тогда событие
является невозможным, и
.
Далее,
.
▄
Следствие.
Если
случайная величина
является постоянной:
,
то для всякой случайной величины
имеет место равенство:
.
Доказательство. Поскольку случайные величины и независимы, то
.
▄
7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического.
Теорема.
Если случайные
величины
независимы и имеют одинаковое
математическое ожидание, равное
,
и одинаковую дисперсию, равную
,
то для их среднего арифметического
справедливы формулы:
.
(8)
Доказательство. Прежде всего, среднее арифметическое имеет такое же математическое ожидание, как и :
.
Далее, используя уже доказанные свойства дисперсии, получаем:
.
▄
Замечание. Из формулы (8) следует, что дисперсия среднего арифметического в раз меньше исходной дисперсии отдельного слагаемого. Иными словами, среднее арифметическое имеет меньшее рассеивание вокруг математического ожидания . Это связано с тем, что в среднем арифметическом при суммировании отклонения разных знаков в значительной степени погашают друг друга.
Последнее находит применение в практике измерений. Так, например, в навигации принято производить измерения по приборам трижды и в качестве результата брать среднее арифметическое полученных значений.