21. Выпуклость, вогнутость кривой на интервале. Достаточные условия. Точки перегиба.

Если график функции y=f(x) имеет касательную в точке x = x0, и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x0; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым. График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале [a,b], если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема на интервале ( a, b ), тогда: если f''(x)>0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a,b); если f''(x)<0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a,b). Точка (x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости. Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку f''(x) меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции y=f(x). Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции y=f(x), то f'(x)=0 или не существует.

22. Существование и нахождение асимптот у графика функции.

Асимптота (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение вертикальных асимптот.

2. Нахождение двух пределов

3. Нахождение двух пределов :

если в п. 2.), то , и предел ищется по формуле

горизонтальной асимптоты,

23. Общий план исследования функции и построения ее графика

1) Отыскивается область определения функции.

Исследование функции начинают с поиска области определения. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль. Следует обращать внимание на корни, так как, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Особое внимание следует обратить на логарифмы, входящие в выражение. Если функция содержит логарифм        , то на область определения накладываются ограничения исходя из неравенств

.

2) Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность; периодичность. Функция         называется чётной, если        . График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Например, функция         - чётная, так как        . Функция называется нечётной, если        . График функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Для примера рассмотрим функцию        . Она нечётная, так как        . Если функция ни чётная, ни нечётная, то говорят, что функция имеет график общего положения. Если существует         такое, что для любого         выполняется условие        , то функция         называется периодической. Наименьшее из чисел        , удовлетворяющих указанному условию, называют периодом. График периодической функции строят так. Сначала строят график на одном периоде, а потом копируют построенный участок вдоль всей оси        . Запись периодические функции, как правило, содержит тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Абсцисса пересечение с осью         ищется исходя из уравнения        . Ордината пересечение с осью         ищется подстановкой значения         в выражение функции         Если пересечение с осью         найти не удаётся, то обходятся без него. Обычно поиск пересечения с осью         не представляет труда. 4) Исследуется непрерывность функции, находятся точки разрыва. Функция         называется непрерывной в точке        , если она определена в этой точке и существует предел        , который равен значению функции. То есть

.

Функция называется непрерывной на промежутке (отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка (отрезка). График непрерывной функции может быть изображён без отрыва карандаша (мела, пера, ручки,…). Точка         является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки        , а в самой точке не является непрерывной (хотя может быть определённой). В этом случае говорят, что функция терпит разрыв в точке        . Выделяют три типа точек разрыва: устранимый разрыв; конечный разрыв (разрыв первого рода); бесконечный разрыв (разрыв второго рода).

5) Ищутся асимптоты графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Образно выражаясь, график как бы прилипает к асимптоте. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке         функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая         является вертикальной асимптотой. Например, в точке         функция         имеет разрыв второго рода. Следовательно, уравнение вертикальной асимптоты        . График функции имеет наклонную асимптоту при         (соответственно при        ), если существуют конечные пределы         (соответственно        ). При этом уравнение наклонной асимптоты        . Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет. Если         и существует конечный предел        , то асимптота является горизонтальной и её уравнение         .

6) Находятся критические точки и интервалы монотонности.

Функция         имеет максимум в точке        , если её значение в этой точке больше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку        . Функция         имеет минимум в точке        , если её значение в этой точке меньше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку        . Для определения критических точек находим производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. В критических точках производная равна нулю или не существует. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то на данном интервале функция убывает.

7) Ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости.

Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз. Если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх. 8) На основании проведённого исследования строим график.

Если необходимо вычисляем значение функции в некоторых промежуточных точках.