Алгоритм решения.
Подставить в выражение предельное значение аргумента.
Определить есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ.
Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности.
Преобразовать выражение согласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п.1.
Правило 1.
В
числителе и знаменателе вынести x в
максимальной степени, если это возможно.
Заметим, что 
,
а 
,
где c - любое число.
Правило 2.
Числитель
и знаменатель разделить одновременно
на 
,
если это возможно. Необходимо иметь в
виду, что
,
а 
,
где c - число, отличное от нуля.
Правило 3.
При вычислении пределов от иррациональных выражений, не попадающих в предыдущие правила, следует избавиться от корней, входящих в неопределенность. Возможны следующие способы:
3.1.
замена переменной 
,
позволяющая извлечь корни, входящие в
неопределенность;
3.2.
дополнение до формулы, позволяющей
возвести корень в соответствующую ему
степень; здесь используются формулы: 
; 
.
Например, 
,
т.е. умножили и разделили на сопряженное
выражение.
Правило 4.
При наличии неопределенности в пределе от выражения, содержащего тригонометрические функции, следует выделить в этом выражениипервый замечательный предел:
. (1)
Можно использовать следствия этого предела:
; (2)
; (3)
; (4)
. (5)
Свойства пределов функции
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы:
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Область определения и множество значений тригонометрических функций
Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции
y = sin x и y = cos x
Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество Rвсех действительных чисел.
Чтобы найти множество значений функции y = sin x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях x, т.е. установить, для каких значений y есть такие значения x, при которых sin x = y. Известно, что уравнение sin x = a имеет корни, если |a| ≤ 1, и не имеет корней, если |a| > 1. Следовательно, множеством значений функции y = sin x является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Аналогично множеством значений функции y = cos x также является отрезок -1 ≤ y ≤ 1.
Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0 Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z. Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z. Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, томножеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.
Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x называют тригонометрическими функциями.