Векторные поля к простейшим векторным полям относятся: соленоидальное, потенциальное игармоническое.

     Определение 1: Векторное поле  называется соленоидальным или трубчатым, если во всех точках поля   Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты. Поскольку  div\vec{B}=0, то поле вектора магнитной индукции является соленоидальным.

     Определение 2: Векторное поле  называется потенциальным илибезвихревым, если во всех точках поля        Для потенциального векторного поля всегда найдется такая скалярная функция  u(M) (потенциал векторного поля ), что  . Потенциал векторного поля  можно найти по формуле

где   – произвольная точка поля, в которой функции P, Q, R определены, С – произвольная постоянная.

 

     Определение 3: Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля  и                     и   т.е. поле является соленоидальным и потенциальным. Потенциал u гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа

Циркуляция векторного поля

     Рассмотрим непрерывное векторное поле   определённое в каждой точке гладкой замкнутой кривой L.      Определение 4: Циркуляцией С векторного поля   вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

     В случае, когда векторное поле  является силовым полем, циркуляция даёт величину работы этого поля вдоль кривой L .      Если кривая L лежит в плоскости xOy, то направление обхода против часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным.

Примеры циркуляций векторных полей: 1.    Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль контура L равна э.д.с.,  возникающей в этом контуре  2.    Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль контура L равна силе тока в этом контуре {tex}C = \oint_{L}\vec{H}d\vec{l} = i{/thttp://naotlichno.by/administrator/index.php?option=com_content&sectionid=0&task=edit&cid[]=22ex}

Дивергенция

(расхождение) векторного поля a (M) в точке (x, у, z), скалярная величина

div а = ¶Р/¶х + ¶Q/¶у + ¶R/¶z,

где Р, Q, R — компоненты вектора а. Д. есть предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность, окружающую данную точку, к объёму, ограничиваемому ею, когда эта поверхность стягивается к точке. Д. играет важную роль в приложениях математики к физике. Так, если рассматривать векторное поле а (М) как поле скоростей в установившемся течении несжимаемой жидкости, то diva в точке означает интенсивность источника (diva > 0) или стока (diva < 0), находящегося в этой точке, или отсутствие источника и стока (diva = 0). Свойства Д.:

div (а + b) = diva + divb;

div (ja) = j diva + agradj; div rota = 0;

div gradj = Dj

Дивергенция векторного поля. Дивергенцией  векторного поля  называется . Точка  находится внутри замкнутой поверхности , ограничивающей объем   , который при вычислении предела стягивается в эту точку. является скалярной величиной и служит мерой источников поля. Если в некоторой области поля  , то источников поля в этой области нет. Такое поле называют соленоидальным. Используя формулу Остроградского, нетрудно получить выражение для вычисления дивергенции в декартовых координатах:

Ротор векторного поля.

Рассмотрим в пространстве замкнутый контур с выбранным направлением обхода, лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне (из конца единичного вектора нормали   обход контура представляется против часовой стрелки). Ротором    (или вихрем) векторного поля в точке  называется вектор, проекция которого на направление вектора нормали есть    . Точка лежит  на плоскости внутри контура  , который стягивается в эту точку при вычислении предела. Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже является мерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором   , затем x0z,     , затем x0y,   . Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:   

Теперь теорема Стокса может быть сформулирована следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора поля через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поля проще запомнить, если записать его в виде определителя: . Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства ротора векторного поля:

 

Потенциальное векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).