Двойной интеграл. Опр. Св-ва. Вычисление.

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y)  D – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн . В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (i , Di)  Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D   0 , то число n областей Di  . Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(i, Di)Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при   0. Обозн:

или

Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y)  0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то:

В частности: g(x,y) >=0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (, )  Д, что:

(2), где S – площадь фигуры Д. Значение f(, ) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области Д.

Вычисление двойного интеграла:

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х  [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = , наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл : , наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

Вычисление двойного интеграла.

Пусть D некая замкнутая область, на которой определена и непрерывна функция z=f(x,y) Различаются 2 основных области интегрирования D, эти области назовем элементарными.

1. Пусть область D ограничена слева прямой x=a, справа x=b (b>a), а сверху и сниху непрерывными кривыми y= φ1(x) и y= φ2(x) (y= φ1(x) > y= φ2(x) на отрезке [a,b])

Причем вертикальные прямые пересекают каждую из этих кривых только в одной точке. Тогда двойной интеграл вычисляется по следующей формуле:

Интеграл стоящий в правой части называют двукратным или повторным. Причем сначала вычисляется интеграл , а переменная x является константой. В результате в общем виде получаем некое выражение от одной переменной “x”, которое подставляют под знак внешнего интеграла. Полученный интеграл считается как обыкновенный интеграл.

2. Область D ограничена серху прямыми у=с, а снизу у=d (c>d), а слева и справа непрерывными кривыми x= ψ 1(y) и x= ψ 2(y) (x= ψ 1(y) < x= ψ 2(y)). Причем горизонтальные прямые пересекают каждую из этих кривых только в одной точке.

14. Двойной интеграл в полярных координатах.