5 .Оценка параметров уравнения парной регрессии.

Эконометрическое оценивание моделей включает два основных этапа:

• Теоретический. Считается, что определена генеральная совокупность. Зная те или иные статистические свойства этой совокупности, можно теоретически определить параметры модели.

• Эмпирический. Исследователь использует лишь выборочные данные. На этом этапе можно оценить, но нельзя точно определить значения параметров модели, поскольку они являются случайными величинами.

Параметры –хар-ки ген. сов-ти. Оценки – хар-ки выборочной сов-ти.

Св-ва оценок:

1. несмещенность (матем ожидание равно о, «в среднем» оценка соотв пар-ру при любом объеме выборки)

2. эффективность (миним дисперсия, большая эффективность, возможность перехода от точечного оценивания к интервальному)

3. состоятельность (увеличение точности при увеличении выборки)

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров- а и b.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК)+метод максим правдоподобия.

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) y^_x минимальна.!

Расчет параметра b:

Величина b показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Так же это наклон линии регрессии (slope) или коэффициент регрессии. Он является мерой зависимости переменной y от переменной x. В линейном уравнении регрессии параметр является абсолютным показателем силы связи. Знак при коэффициенте регрессии b показывает направление связи: при b>0- связь прямая, а при b<0 – связь обратная.

Расчет параметра а:

Экономически не интерпретируется, является свободным членом уравнения регрессии.

Так же можно обратиться к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию, затем по графику найти значения параметров. (график)

Условия применения МНК:

• Модель регрессии должна быть линейной по параметрам.

• x – не стохастическая переменная.

• Значения ошибки (остатка)- случайные. Их изменение не образует определенной модели.

• Число наблюдений должно быть больше числа оцениваемых параметров (в 5-6 раз).

• Значения переменной x не должны быть одинаковыми.

• Изучаемая совокупность должна быть однородной.

• Отсутствие взаимосвязи между фактором x и остатком.

• Модель регрессии должна быть корректно специфицирована.

• В модели не должно наблюдаться тесной взаимосвязи между факторами (это условие для множественной регрессии).

6.Абсолютные и относительные показатели силы связи в уравнениях парной регрессии.

• Абсолютные. Показывают, на сколько единиц в среднем меняется результативный признак при изменении факторного признака на одну единицу. В линейном уравнении параметр b - абсолютный показатель силы связи.

• Относительные (коэффициенты эластичности). Показывают, на сколько процентов в среднем меняется результативный признак при изменении факторного признака на один процент. ! (табл на др стороне)

7.Показатели тесноты связи в моделях парной регрессии.

1.Коэффициент детерминации – обобщающий показатель оценки построенного уравнения регрессии. Он характеризует долю вариации результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей вариации результата. В основе расчета правило сложения дисперсий. !

r²=SS_R/SS_T=1-SS_E/SS_T

Правило сложения дисперсий:

SS_T=SS_R+SS_E

2.Индекс корреляции: !

При измерении тесноты лин. связи индекс корел совпадает с лин коэф корреляции.

3. Коэффициент корреляции !

Шкала значений коэффициента корреляции:

• До 0,3 связь слабая

• 0,3-0,5 связь умеренная

• 0,5-0,7 связь заметная

• 0,7-0,9 связь высокая

• 0,9-1,0 связь весьма высокая, близкая к функциональной

8.Статистический анализ достоверности модели парной регрессии.

Имея дело с данными выборки при построении модели регрессии, значение коэф детермин может отражать истинную зави-ть, а может быть р-тов случайного стечения обстоятельств.Поэтому необходимо оценить надежность полученного уравнения и его параметров. Для этой цели выдвигается статистич гипотеза – предположение о св-ве ген сов-ти, которые можно проверить, опираясь на данные выборки.

Алгоритм:

• Выдвигается H₀ : коэф детермин в ген сов-ти = 0

• Выдвигается H₁ : коэф детермин в ген сов-ти не равен 0

• Определяется уровень значимости альфа

• Рассчитывается критерий Фишера

• Определ табл значение критерия Фишера

• Фактич знач-ие сравнивается с табличным

F_факт>F_табл, Н₀ отклоняется, принимается Н1, уравнение статистически значимо и надежно если F_факт<F_табл, Н₀ не отклоняется.

Критич область – область, попадание знач-ия статистич критерия в кот приводит к отклонению Н0(вероятность попадания равна уровня значимости).

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F- отношения, то есть критерий F: F=Dфакт/Dост

Если нулевая гипотеза H₀ справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Если Н₀ несправедлива, то факторная дисперсия превышает остаточную в несколько раз.

Табличное значение F-критерия- это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном расхождении их для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы.

Переходим к расчету F-критерия: !(на др стороне)