2.8. Качество измерений

Под качеством измерений понимают совокупность свойств, обусловливающих получение результатов с требуемыми точностными характеристиками, в необходимом виде и в установленные сроки. Качество измерений характеризуется такими показателями, как точность, правильность и достоверность. Эти показатели должны определяться по оценкам, к которым предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Истинное значение измеряемой величины отличается от среднего значения на величину систематической погрешности ∆_с , т.е.

х = - ∆_с .

Если систематическая составляющая исключена, то х = . Однако из-за ограниченного числа наблюдений точно определить также невозможно. Можно лишь оценить это значение, указать границы интервала, в котором оно находится, с определенной вероятностью.

Оценку числовой характеристики закона распределения х, изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной оценкой. В отличие от числовых характеристик оценки являются случайными величинам. Причем их значение зависит от числа наблюдений п.

Состоятельной называют оценку, которая сводится по вероятности к оцениваемой величине, т.е. х при п .

Несмещенной является оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой величине, т.е. х = .

Эффективной называют такую оценку, которая имеет наименьшую дисперсию .

Перечисленным требованиям удовлетворяет среднее арифметическое х результатов п наблюдений.

Таким образом, результат отдельного измерения является случайной величиной. Тогда точность измерений — это близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Если систематические составляющие погрешности исключены, то точность результата измерений характеризуется степенью рассеяния его значения, т. е. дисперсией. Как показано выше (см. формулу 2.4), дисперсия среднего арифметического в п раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения.

На рис. 2.9 заштрихованная площадь относится к плотности вероятности распределения среднего значения.

Рис. 2.9. Плотность распределения отдельного и суммарного результата измерения.

Правильность измерений определяется близостью к нулю систематической погрешности.

Достоверность измерений зависит от степени доверия к результату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины лежит в указанных окрестностях действительного.

Эти вероятности называют доверительными вероятностями, а границы (окрестности) — доверительными границами:

Р = 2S_n(t) – 1,

где S_n(t) — интегральная функция распределения Стьюдента. При

увеличении числа наблюдений п распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному и переходит в него уже при n ≥ 30.

Другими словами, достоверность измерения — это близость к нулю случайной (или неисключенной) систематической погрешности.

Для количественной оценки качества измерений рассмотрим влияние параметров измерений на погрешность их результатов. При планировании измерений и оценке их результатов задаются определенной моделью погрешностей: предполагают наличие тех или иных составляющих погрешности, закон их распределения, корреляционные связи и др. На основе таких предположений выбирают СИ по точности, необходимый объем выборки объектов измерений и метод оценивания результатов измерений.

В этой связи необходимо знать влияние на погрешность результатов измерений:

• числа наблюдений и доверительной вероятности, с которой должны бьпъ известны вероятностные характеристики результатов;

• степени исправленности наблюдений, т. е. наличия НСП наблюдений;

• вида и формы закона распределения погрешностей.

Когда систематические погрешности результатов наблюдений отсутствуют (∆_с= 0), доверительная погрешность среднего арифметического зависит только от погрешности метода σ_х, числа наблюдений п и доверительной вероятности Р_∆. Так как случайная

величина t_p = ( -х)/ имеет распределение Стьюдента с п - 1 степенями свободы, то, воспользовавшись таблицей этого распределения, можно построить зависимость / = f (n,P).

Рис. 2.10. Зависимость / , Р_∆ и n

Такая зависимость для Р_∆ = 0,90; 0,95; 0,99 и п = 2-2∆, изображена на рис.2.10.

По кривым можно оценить влияние п и Р_∆ на . Так, на участке кривых при п ≤ 5 величина — / , очень чувствительна к п для любых Р_∆ . Например, при переходе от п = 2 к п = 3 величина / при Р_∆ = 0,95 уменьшается более чем в 3 раза. С ростом Р_∆ чувствительность / к n возрастает. На участке кривых при n > 5 уменьшение / от роста п замедляется настолько, что возникает задача определения практически предельного значения числа наблюдений. Действительно, неограниченному уменьшению погрешностей при увеличении п препятствует неисключенная систематическая погрешность в результатах наблюдений. Дальнейшее увеличение п вызывает незначительное сужение доверительного интервала . Так, если систематические погрешности отсутствуют, то для любого при п > 7 и Р_∆ = 0,90, при п > 8 и Р_∆ = 0,95 и при п > 10 и Р_∆ = 0,99 величина уменьшается всего на 6—8% и менее.

Поэтому при эксплуатации и испытаниях ТС рекомендуется, во-первых, использовать доверительную вероятность Р_∆= 0,9, так как в этом случае для широкого класса симметричных распределений погрешностей = 1,6 и не зависит от вида этих распределений; во-вторых, при Р_∆=0,9 использовать выборку наблюдений объемом не более п = 5,...,7.

Аналогично ведет себя корреляция результатов измерений па- раметров изделия. Для выборочного СКО среднего арифметического прямого измерения с многократными наблюдениями при условии, что результаты наблюдений х₁ и х_к коррелированы, может быть использована формула

, (2.11)

где - коэффициент корреляции результатов х₁ и х_к; К_хх – поправочный множитель.

Расчеты по формуле (2.11) показывают сильное влияние корреляции результатов наблюдений на (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Значение коэффициента корреляции

и поправочного множителя

Коэффициент корреляции г, ,	Значение поправочного множителя Кхх при числе наблюдений n
	3	5	10	20
0,10	1,10	1,18	1,38	1,70
0,15	1,14	1,25	1,50	1,89
0,25	1,22	1,39	1,74	2,28
0,50	1,41	1,73	2,35	3,24
1,00	1,73	2,24	3,17	4,47

Как видно из табл. 2.3, величина может быть существенно занижена. Так, при малой корреляции результатов и n ≤ 20 это занижение не превышает 1,7 раза. При сильной корреляции величина , характеризующая точность результатов измерений, может быть занижена в несколько раз.

Заметно влияет на СКО результатов наблюдений , называемое иногда погрешностью метода измерений, степень исправленности результатов наблюдений перед обработкой. Действительно, если выполняются технические измерения и результат измерения получают в виде среднего арифметического значения , то величину погрешности метода в этом случае (обозначим ее ) определяют по формуле (2.2). Если измерения той же величины выполняют с такой точностью, что вместо получают истинное значение искомого параметра, т.е. = х, то погрешность метода в этом случае (обозначим ее ) получают по аналогичной формуле, в которую вместо делителя (n-1) подставляют делитель n.

Несущественная на первый взгляд замена х на намечает ряд проблем. Оказывается, что наиболее употребляемая на практике характеристика как статистическая оценка имеет большее смещение и менее эффективна, чем характеристика .

Так, относительная величина смещенности СКО ∆_σ = (М[σ_х]- )/σ_х оценок и и их эффективность Е_σ как функция числа наблюдений п приведены на рис. 2.11 и показывают следующее:

• характеристики ∆_σ и Е_σ являются монотонными функциями п;

• обе оценки смещены относительно истинного СКО, полученного по данным генеральной совокупности, оценка -больше, оценка — меньше. При п > 50 смещение обеих оценок составляет примерно 0,5% и с уменьшением п растет, особенно при п < 5. Так, при n = 3, _|=7,5%, а =11,5%;

• эффективность обеих оценок при п < 50 уменьшается, особенно для оценки . Так. при п = 3 = 0,93, а = 0,62.

Рис.2.11. Смещенность и эффективность оценок результатов измерений

Для нормального закона распределения погрешностей эти шибки в форме СКО определяются по формулам:

/ и .

При n ˂ 50 величина σ_х определяется с ошибками, достигающими десятков процентов. Кроме того, использование σ_х1 вместо σ_х приводит к увеличению ошибок оценки на 10% и более (при п ≤ 3). При п ≤ 10 это завышение незначительно.

Оценка качества результатов измерения при недостаточности априорных данных должна быть ориентирована на самый худший случай. Тогда реальное значение будет всегда лучше и получение необходимого результата гарантируется.

Если закон распределения параметра и погрешности не известен и нет оснований утверждать, что он близок к нормальному, но известно СКО погрешности измерения, то коэффициентами Стьюдента пользоваться нельзя. В этом случае доверительные интервалы строят на основе неравенства Чебышева:

Р{ } ≥ 1 - (2.12)

полагая симметричность фактического закона распределения. Тогда

(2.13)

где — коэффициент Чебышева:

Р	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95
	1,4	1,6	1,8	2,2	3,2	4,4

Из формулы (2.12) следует, что , где Р_с - вероятность того, что отдельное случайное значение ряда измерений при любом законе распределения не будет отличаться от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала Д.

Если значение СКО также неизвестно, но известно максимальное значение результирующей погрешности (например, погрешность СИ), то это значение погрешности можно использовать в качестве оценки "сверху": ∆_си=3 .

Следует отметить, что результаты измерений, не обладающие достоверностью, т. е. степенью уверенности в их правильности, не представляют ценности. Например, датчик измерительной схемы может иметь весьма высокие метрологические характеристики, но влияние погрешностей от его установки, внешних условий, методов регистрации и обработки сигналов приведет к большой конечной погрешности измерений.

Наряду с такими показателями, как точность, достоверность и правильность, качество измерительных операций характеризуется также сходимостью и воспроизводимостью результатов. Эти показатели наиболее распространены при оценке качества испытаний и характеризуют точность испытаний.

Очевидно, что два испытания одного и того же объекта одинаковым методом не дают идентичных результатов. Объективной мерой их могут служить статистически обоснованные оценки ожидаемой близости двух или более числа результатов, полученных при строгом соблюдении методики испытаний. В качестве таких статистических оценок согласованности результатов испытаний принимаются сходимость и воспроизводимость.

Сходимость — это близость результатов двух испытаний, полученных одним методом, на идентичных установках, в одной лаборатории. Воспроизводимость отличается от сходимости тем, что оба результата должны быть получены в разных лабораториях. При доверительной вероятности Р= 0,95 сходимость определяется как r =2,77 , а воспроизводимость — R =2,77σ_в.

Здесь и σ_в — стандартные отклонения результатов испытаний соответственно в условиях сходимости и воспроизводимости

; ,

где х₁ и х₂ – результаты единичных испытаний в условиях сходимости; у₁ и у₂ - результаты единичных испытаний в условиях воспроизводимости.

- среднее значения.

Отдельные стандарты задают значения r и R.

Пример 2.6 По ГОСТ 7163-84 динамическая вязкость жидких нефтепродуктов в интервале 2 . . .5500 Па*с должна определяться со сходимостью и воспроизводимостью не более значений, указанных в таблице 2.4.

Таблица 2.4

Предельные значения сходимости и воспроизводимости нефтепродуктов, Па с

Динамическая вязкость	Сходимость не более	Воспроизводимость не более
до 2	0,2	0,3
Свыше 2 до 64	0,8	10,0
свыше 64 до 250	32,0	39,0
свыше 4750 до 5500	614,0	880,0