18. Зависимость стоимости купонной облигации (с премией, с дисконтом, с номиналом) от фактора времени. Внутренняя ставка доходности портфеля из активов с фиксированными потоками платежей (облигаций).

Зависимость цены купонной облигации от купонной ставки. Рассмотрим облигацию номиналом A, купонные выплаты по которой производятся m раз в году по годовой купонной ставке f. Пусть P — цена облигации сразу после купонной выплаты = 0, r — ее годовая внутренняя доходность в этот момент времени. Цену облигации сразу после купонной выплаты называют котируемой.

Если P = A, то говорят, что облигация продается по номиналу. Если P A, то говорят, что облигация продается с премией П = P -A. Если P A, то говорят, что облигация продается с дисконтом Д = A- P.

Пусть дана облигация номиналом A, купонные выплаты по которой производятся m раз в году по годовой купонной ставке f. Предположим, годовая внутренняя доходность облигации остается неизменной и равной r до момента ее погашения. Будем считать = 0. Рассмотрим зависимость котируемой цены купонной облигации от срока до погашения. Пусть в момент t = 0 время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до покупки облигации до момента t = 0 сразу после купонного платежа до погашения облигации осталось k купонных периодов k купонных выплат. Тогда срок до погашения облигации равен T=km= лет. Зависимость котируемой цены Pk купонной облигации от срока до погашения будем рассматривать как зависимость от числа оставшихся до погашения купонных выплат k. Получаем:

где k = 0, 1, 2, …, n, … . Котируемая цена облигации в день погашения сразу после выплаты последнего купона, когда k = 0, равна номиналу облигации, т.е. Pk = 0 = A. Кроме того, = — стоимость бессрочной облигации вечной ренты.

Рассмотрим вспомогательную функцию определенную на множестве [0,+ [ . Значения этой функции F0, F1, F2, , Fn,…

в точках x = 0, 1, 2,…, n,…, т.е. в точках x = k, где k – неотрицательное целое, - это котируемые цены облигации Pk = 0, P1, P2, …, Pn, … соответственно в день погашения, за 1 купонный период до погашения, за 2,…, n купонных периодов до погашения и т.д. Таким образом, имеем равенство: причем, F0 = Pk = 0 = A и если внутренняя доходность купонной облигации r не изменяется в течение срока ее обращения, то размер премии или дисконта уменьшается при уменьшении срока до погашения. Добавка к котируемой цене, накопленная за время , называется накопленным купонным доходом.

Внутренняя ставка норма доходности портфеля — характеристика, используемая для вычисления доходности портфеля, вычисляемая путем определения денежных потоков по всем облигациям, находящимся в портфеле, и нахождения процентной ставки, уравновешивающей текущую стоимость денежных потоков с рыночной стоимостью портфеля.

Внутренняя ставка норма доходности портфеля вычисляется с помощью:

1 определения денежных потоков по всем облигациям, находящимся в портфеле

2 нахождения процентной ставки, уравнивающей текущую стоимость денежных потоков с рыночной стоимостью портфеля.

Внутренняя ставка доходности портфеля, хотя и лучше, чем средневзвешенная доходность портфеля, но имеет те же недостатки, что и меры доходности, обсужденные раньше. — она предполагает, что денежные потоки реинвестируются по внутренней ставке доходности. Более того, она предполагает, что портфель держится до погашения облигации с наибольшим сроком погашения из портфеля.