Глава 12

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

12.1. Особенности измерения статистических характеристик случайных процессов

Статистический анализ случайных величин и процессов широ­ко применяется во всех отраслях науки и техники.

Для специалистов ИИТ необходимо не только уметь пользо­ваться статистическими характеристиками при проектировании и анализе погрешностей технических средств, но и знать методы и

принципы построения аппаратуры, предназначенной для экспери­ментального измерения таких характеристик. Ввиду особой важ­ности статистических измерительных систем здесь целесообразно привести в весьма сжатом виде основные сведения о принципах построения таких систем и дать примеры их реализации.

Для более глубокого изучения теории статистических измере­ний, методов и средств измерения статистических характеристик специалистам в области ИИТ можно рекомендовать в первую оче­редь [12.1, 12.2].

Для изучения материала по статистическим измерениям от чи­тателя требуется твердое знание и понимание основ теории веро­ятностей в объеме [12.3].

При экспериментальном изме­рении характеристик случайных ■процессов имеется возможность оперировать с временной реали­зацией Xi(t), ансамблем реали­заций {лГг(0К=Ь2, ...,т При О^^Г

Реализации случайного

Рис. 12.1. процесса

или ансамблем реализаций {xi(^)}i=_b2...,m, взятых в опреде-ленный момент времени t₃ (рис. 12.1).

Нужно подчеркнуть, что рассмотренное далее приложимо и к .анализу случайных функций, у которых в качестве аргумента мо­гут быть время, пространственные координаты и т. п. Заметим, что при фиксированных значениях аргумента значения функции — случайные величины.

Случайные процессы могут быть заданы в непрерывном или в квантованном по времени виде. В последнем случае функция за­дается выборкой N дискретных значений непрерывной функции, взятых через определенный интервал времени At.

При анализе ансамбля реализаций, конечно, получается наибо­лее полная информация о случайном процессе. В ряде практиче­ски важных случаев можно ограничиться определением характерис­тик случайного процесса по одной его роализации или по ансамб­лю значений—это оказывается возможным, если случайный про­цесс является стационарным и эргодическим.

В дальнейшем остановимся на экспериментальном измерении характеристик стационарных эргодических процессов [12.4].

Полученные в результате измерения эмпирические характерис­тики случайных процессов принято называть оценками истинных характеристик Q*. Эти оценки сами по себе являются случайными величинами. Поэтому при планировании статистического измери­тельного эксперимента необходимо решать задачи получения оце­нок характеристик с заданной погрешностью при ограничениях, накладываемых на объем исходных данных, на время измерения, на. возможности аппаратуры и т. п.

Как известно, оценки характеристик должны быть состоятель­ными, несмещенными и эффективными. Состоятельной называется оценка, вероятность отклонения значения которой от оцениваемой величины при увеличении объема статистического материала N стремится к нулю, т. е. P{\Qr?*—Q|^e}=0. Оценка называется

/V-»oo

несмещенной, если разность ее математического ожидания и ис­тинного значения оцениваемой величины приближается к нулю, т. е. фактически при этом требуется, чтобы отсутствовала систе­матическая ошибка. Смещение оценки Q* определяется как AQ*= =M[Q*]—Q. Оценка называется эффективной, если несмещенная оценка обладает наименьшей дисперсией: minZ)[Q*] = =minM{M[Q*]—Q}². Погрешность оценки Q* обычно определяет­ся доверительной вероятностью и и доверительным интервалом Q±e:

P(Q*-e<Q<Q*+e)=cz.

Типовой алгоритм измерения характеристик стационарного' случайного процесса по его реализации x(t) может быть представ­лен в следующем виде:

<2*=М{Я_Ф[*(0]},

где H₄[x(t)]—соответствующее данной оценке преобразование исследуемого процесса. Если x(t) представлено в виде непрерыв­ной функции, то типовой алгоритм реализуется в интегральном т

виде: Q_H* =— \ H_¥[x(£)]d£, если же исследуемый процесс пред-

6 ставлен в виде N дискрет, то

N

/=i

где At—интервал равномерного квантования x{t) по времени. Ре­зультат преобразования Н_ф[л:(<)] при измерении математического ожидания равен Ylm[x(t)]=x{t), дисперсии — H_R[x(t)] =[x(t) — —М_х]², дискрет корреляционной функции H_R[x{t)] = [x(t) — —М_х] [x(t+x)—Mx] и т. д.

Большинство характеристик, получаемых по описанному алго­ритму, состоятельны, несмещенны и эффективны. Исключение со­ставляет оценка дисперсии, и для устранения смещенности она должна быть представлена в виде

Я* = Ге [*«,)-М_х]

L/=i

/N

[NKN-1)].

Основными источниками методической погрешности при ре­ализации этого алгоритма являются конечное время анализа T=NAt или конечный объем выборки N=T/lS.t_r квантование x(t)

по уровню и способ построения статистических функций по изме­ренным их дискретам.

Если задача статистических измерений заключается в получе­нии параметров статистических функций, к которым относятся за­коны распределения вероятностей, корреляционные и спектраль­ные функции, то их определение может быть также реализовано через измерение коэффициентов аппроксимирующих многочленов

г

о

к с получением оценки изучаемой функции @*~2 ^k?k^)-

Основными источниками методических погрешностей в этом случае будут конечное число членов разложения и, как и в преды­дущем способе, конечное время анализа или конечный объем вы­борки.

Чаще всего при статистическом анализе используются законы распределения вероятностей и моментные характеристики, корре­ляционные и спектральные функции.

Перейдем к рассмотрению структур и алгоритмов статистичес­ких измерительных систем, предназначенных для измерения зако­нов распределения вероятностей, корреляционных и спектральных функций. Средства и алгоритмы измерения математического ожи­дания и дисперсии читателям предлагается изучить по [12.2].

Считаем полезным привести соотношения, необходимые для ориентировочного определения объемов выборок при измерении М_х и Dx. При измерении М_х некоррелированных выборок (А^>Тко_Р) o²Mtt{l/N){Dx/M²_x)=K²/N, где т_кор—интервал корре­ляции, G/л—средняя квадратическая погрешность измерения сред< него значения, %—коэффициент изменчивости. Конечно, это выра­жение справедливо при М_х¥=0. Средняя квадратическая погреш­ность определения D_x связана с объемом некоррелированных вы­борок так:

o²_Dtt2/N.

Подчеркнем, что приведенные соотношения пригодны для гру­бых, ориентировочных расчетов. При слабо коррелированных вы­борках объем N должен быть увеличен.