11.2. Аппроксимирующие ис

Если нужно количественно оценить и при необходимости восстановить исход­ную входную величину, являющуюся функцией некоторого аргумента, то имеется -Принципиально два пути выполнения измерений. Первый, чаще используемый, .заключается в измерении дискрет этой величины, расположенных через опреде­ленные интервалы аргумента, и восстановлении ее путем аппроксимации с по­мощью многочленов невысокой степени. Второй путь связан с измерением коэф­фициентов многочленов, аппроксимирующих исходную функцию на всем интерва­ле ее анализа. Естественно, что порядок аппроксимирующего многочлена при этом должен быть более высоким. Нужно отметить, что при соответствующем ■выборе типа приближающего многочлена имеется возможность не только коли­чественного описания поведения изучаемой величины в любой точке интервала .яаблюдения, но и одновременного получения информации о некоторых свойствах этой величины. В частности, при использовании ряда Фурье знание коэффициен­тов ряда позволяет судить о частотном составе изучаемой функции.

Измерительные системы, позволяющие измерять коэффициенты, приближаю­щих многочленов, далее называются аппроксимирующими (АИС). Подчеркнем,. что АИС относятся к системам, предназначенным для количественного описания! величин, являющихся функциями времени, пространства или другого аргумента,. и их обобщающих параметров, определяемых видом приближающего много­члена.

Коэффициенты аппроксимирующего многс-члена зависят от изучаемой x(t) и выбранной системы приближающих функций ер(^). Получение коэффициентов, многочлена, аппроксимирующего исходную функцию,

C_ft=F, [*(*), <р*(0].

относится к области анализа сигналов. Эта зависимость при равномерном кван*-

.V

товании по аргументу имеет вид C_h= V x(tj)(ph(tj), где /=1, 2, ..., N — по

/=1 рядковый номер дискретных значений исходной функции x(t).

Заметим, что наиболее часто изучению подлежат процессы x(t) и простран­ственные функции х{1).

Кроме времени и пространства в качестве аргумента в АИС употребляются-интервалы корреляции при описании корреляционной функции, частоты при опи­сании спектральных характеристик и т. д. (рис. 11.5).

Для восстановления (синтеза) исходной изучаемой функции нужно выпол­нить преобразование

x*(tj) =F₂[C_k,y_h(t j)].

К

При равномерном квантовании по аргументу x^<i(tj)= "\ C_k^_k{tj),.

х(в): x(t), x(l),R_x(v},.G_x(w,f(x)

:t,l,?,U,x.

* =о В АИС, так же как и в других ИС, информационные операции могут вы^ подняться последовательным, парал­лельным или смешанным способами. Аппроксимирующие измерительные си­стемы могут реализоваться с замкнутой или разомкнутой информационной об­ратной связью, в виде аналоговых или цифровых устройств.

Рис. 11.5. Исходные функции

При создании и использовании АИС приходится решать ряд специфи­ческих задач, к которым в первую оче­редь относятся выбор типа приближающего многочлена и определение его по­рядка, исходя из заданной погрешности аппроксимации.

Решение этих задач зависит от вида изучаемой исходной функции, заранее-нзвестной информации о ней, от цели измерения, метрологических требований к измерениям и т. д.

В качестве приближающих многочленов с базисными функциями <р(/) могут быть выбраны ряды Фурье, разложения Фурье —Уолша, Фурье —Хаара, мно­гочлены Чебышева, Лагранжа, Лежандра, Лагерра и др. Основные данные о наи­более широко применяемых многочленах приведены в гл. 21.

Приведем примеры реализации АИС. Остановимся на использовании АИС при измерении коэффициентов разложения Фурье — Уолша распределенной в про-

•странстве непрерывной функции х(1). Б этом важном для практики случае ■исходная величина воздействует в каждый момент на датчики, жестко закреп­ленные в узлах аппроксимации. Для первоначального рассмотрения можно при­нять, что в процессе измерения исследуемая функция не изменяется, координа­ты мест расположения датчиков известны с заданной точностью, а датчики вос­принимают эту функцию в точках. Конечно, отступления от этих условий окажут .влияние на погрешность результата измерения, но это влияние может быть оце­нено особо.

Размещение датчиков должно быть таким, чтобы можно было описать .исходную функцию с заданной погрешностью по полученным дискретам. Расчет интервалов квантования может быть выполнен из соображений, приведенных в гл. 22. Допустим, что на интервале наблюдения расположено N=2ⁿ датчи­ков. Тогда имеется возможность реализовать алгоритм получения коэффициентов ■Фурье — Уолша по формуле

N

С* = (1/2*)2*('/)ИЗД. ;=i .где Wh (lj) — функция Уолша.

Аппроксимирующая измерительная система разомкнутого типа при исполь­зовании функций Уолша реализуется довольно просто.

Положим, необходимо произвести аппроксимацию пространственной кривой л{1), воспринимаемую четырьмя датчиками, с использованием разложения •Фурье — Уолша. Матрица коэффициентов функций Уолша Wk (lj) третьего по-.рядка и структуры аналоговой части АИС параллельного (а) и последователь-.ного (б) действия представлены на рис. 11.6. В параллельной структуре показа-

4

.ны цепи, необходимые для получения по формуле Сь=(1/4) 2 ^x('j)Wfc('j)

/•=1 коэффициентов С₀ .и С_х. Поскольку функции Уолша принимают значения -|-1 лли —1, то сопротивления равны между собой.

При последовательном получении коэффициентов С₀ и С\ алгоритм работы .выглядит следующим образом:

при измерении 4Со

Ф(4С₀, Wo) Ш*(/|)Ш1*(УШ[*(Ь)]111[*(ад]} 1[*(/₁)+*(/₂)+ -+-x(h)+x(k)] I(4Co); при измерении 4Ci

Ф(4С_Ь №,) {Цл;(/,)]||1[д;(/2)]111[-л:(/з)]111[-а:(/4)]}Х X I[*(*i)+*(fe)-*(U-*(*4)] I(4C).

Коэффициенты разложения Уолша при этом выдаются генератором G ФУ.

На выходе аналоговой части может быть произведен анализ значимости по-.лученных и устранение несущественных коэффициентов. Помимо этого, отбор ■ существенных коэффициентов может быть выполнен путем оценки погрешности восстановления с помощью сравнения восстановленной и исходной функций и решения о значимости полученных коэффициентов.

Если исходная функция описывается многочленом высокого порядка, то •имеется возможность многократного использования АИС на отдельных участках

_ВВИВя

-^-^c„=x(l₁)-tx(i_z)+x(l₃)+x(li_t)

> ■±-bc₁=x(li)+x(l_z)-x(l3)-x(lb)

а)

г—\^Kfl* _аП

G ФУ

_ВВ

И

J

*,:

Кп1

^LL>

Кп2.

И

КпЗ

MPq.

У	I
	1	z	J	4
^0	1	1	1	1
tVy	1	1	-1	-7
iv2	1	-1	1	-1
w3	1	-7	-7	1

в)

Рис. 11.6. АИС с параллель­ ным и последовательным полу­ чением коэффициентов Фурье — Уолша:

а — параллельное соединение; б — последовательное соединение; в — таблица функций Уолша

существования функции и «сшивания» кусочного описания в единое выражение. Возможность перехода к единому выражению при использовании функций Уолша определяется тем, что функции Уолша для удвоенного интервала увеличивают порядковый номер, а коэффициенты при таком «сшивании» могут быть получе­ны в виде С— (C'-j-C") /2. Это достаточно наглядно может быть проиллюстриро­вано с использованием матрицы коэффициентов Уолша. Положим, определены коэффициенты С_ш и С_1Ь а также С₀₂ и С₁₂ для двух отрезков [0, 0,5] и [0,5, 1], содержащих по два датчика (/ и 2, 3 и 4). Тогда для отрезка [0,1] получается

С„= (С₀₁+С₀₂) /2; С, = (Coi-Сог) /2;

С₂= (C„-f С₁₂)/2; С₃=(С„—С₁₂)/2.

Действительно, если

Со,=0,5|>(М-Ьк(1₂)];

С«=0,5[х(«₈)+*(««)];

С„=0,5[*(М—x(h)];

C_lS=0,b[x(h)—x(U)], то

C₀=0,25[x(h)-}-x(l₂)-{-x(h)+x(h)];

С,=0,25 [х (h) -\-х (h) — х (h) — х (U) ];

C₂=0,25[x(Z,)-.v(«₂)+x(y-x(«₄)]; С₃=0,25[л:(г₁)— x(l₂)— x(h)-\-x{h)].

После выполнения таких операций имеется возможность вновь оценить зна­чимость и отфильтровать несущественные коэффициенты.

В Новосибирском электротехническом институте [11.7] были изготовлены и использованы в различных целях АИС: для работы с четырьмя термопарами (20 тыс. коэффициентов разложения Фурье — Уолша в секунду, +0,4%); для анализа периодических сигналов с частотой 10, 100, 1000, 10 000 Гц, +1 %; Для работы с четырьмя тензодатчиками (использовались многочлены Чебышева и разложение Фурье — Уолша, производилось одновременное измерение четырех коэффициентов, +0,5%); для работы с 64 тензодатчиками (получались 64 ко­эффициента ряда Фурье, разложения Фурье — Уолша, Фурье — Хаара и Чебыше­ва); для работы с тензодатчиками с применением микро-ЭВМ С5-11, «Электро-ника-60». Кроме того, было изготовлено несколько генераторов сигналов задан­ной формы.

К основным областям применения АИС и восстанавливающих (синтезирую­щих) устройств относятся измерение статистических характеристик случайных процессов (см. гл. 12) и характеристик нелинейных элементов, сжатие радиоте­леметрической информации и информации при анализе изображений, фильтра­ция—восстановление функции без некоторых коэффициентов [11.8], генерация сигналов заданной формы.

Представляет интерес использование АИС для организации контроля состоя­ния исходной функции и для распознавания образов по коэффициентам разло­жения.