1.4. Свойства операций

Операции умножения и сложения обладают всеми свойствами аналогичных операций над числами:

1. Коммутативность сложения и умножения:

2. Ассоциативность сложения и умножения: ; (АВ)C=А(ВС);

3. Первый распределительный закон: .

4. Второй распределительный закон (для чисел места не имеет): .

Справедливость указанных выше соотношений предлагается проверить самостоятельно.

Упражнение. Доказать справедливость соотношений:

1. – так называемая формула поглощения;

2. ;

3. .

1.5. Алгебра и σ– алгебра событий

Пусть Ω – пространство эл. событий некоторого случайного эксперимента. Любое подмножество множества Ω назовем ω – множеством (ранее мы назвали любое подмножество Ω событием, пока откажемся от этого названия, так как не любое ω – множество есть необходимость и возможность называть событием). Дадим формальное определение алгебры событий.

Определение. Непустое множество F ω–множеств называется алгеброй событий, если выполняются следующие два условия: 2) из условий A F, В F, следует

Любое ω–множество из этого класса и только оно называется событием (см. замечание в начале п.1.3).

Из определения немедленно следует утверждение, что алгебра событий F вместе с каждым событием A содержит и событие : А Ω Ω=А+Ā. По условию , . Далее, принимая во внимание замечание в конце п.1.3, заключаем, что если A и B F, то события А∩В, А–В, В–А, А∆В также принадлежат множеству F. Действительно, если события A и B содержатся в алгебре F, то также по только что доказанному содержатся в множестве F по определению алгебры. На основании формул де Моргана, , следовательно, . Далее, , тогда на основании всего сказанного выше, и т.д.

Как видим сумма, разность и произведение событий из класса F имеют результатом событие этого же класса. Поэтому алгебру событий F можно определить еще и так: алгебра событий F – это класс ω–множеств, замкнутый относительно конечного числа арифметических операций (умножение, сложение, вычитание).

Пример 3. F= – класс множеств, состоящий из двух событий, достоверного и невозможного, является алгеброй – это так называемая тривиальная алгебра. Действительно, сумма, произведение, разность конечного числа элементов этого множества дает в результате элемент этого же множества.

Пример 4. Пусть А – некоторое подмножество множества Ω. Тогда класс множеств F = (Ω, Ø,А, ) образует алгебру.

Пример 5. Пусть Ω ≡ R. Рассмотрим промежутки чисел вида [а,b), . Их называют отрезками, полуоткрытыми справа. Множества, являющиеся результатом конечного суммирования отрезков, полуоткрытых справа, образуют алгебру в .

Пример 6. Пусть Ω ≡ , рассмотрим множество всех параллелепипедов вида , , . Их называют полуоткрытыми справа параллелепипедами. Множества, являющиеся результатом конечного суммирования параллелепипедов, полуоткрытых справа, образуют алгебру в .

Отметим, что свойство 2 из определения алгебры событий выполнимо для любого конечного набора ω–множеств, то есть если то . Если же свойство 2 полагать выполненным для любой (не только конечной) последовательности подмножеств то получим новый класс ω – множеств.

Определение. Пусть Ω – бесконечное множество элементарных исходов некоторого эксперимента. Непустой класс F ω – множеств из Ω, удовлетворяющий условиям: 2) если события принадлежат множеству F, то и событие принадлежит множеству F, называется σ – алгеброй событий.

Пример 7. Пусть имеют место условия примера 5. Рассмотрим последовательность , n=1,2,… Очевидно, что Это означает, что результат применения счетного числа операций сложения к множествам выводит из алгебры F в : (0,1) . Но по определению σ – алгебры множество – алгебре F в .

Таким образом, σ–алгебра F в наряду с множествами вида [a,b) содержит любое из восьми множеств: Систему таких промежутков – σ–алгебру F в называют борелевской, а ее множества – промежутки указанного выше типа – борелевскими множествами. Наряду с обозначением F часто в этом случае используют обозначение : F≡ .

Опираясь на формулы де Моргана можно показать, что пересечение счетного множества событий А снова будет принадлежать σ–алгебре F. Отсюда вывод: σ-алгебра F – это класс ω–множеств, замкнутый относительно счетного числа арифметических операций.

Пример 8. Можно утверждать, что как и в примере 7, алгебра F в порождает σ–алгебру в . Ее также называют борелевской алгеброй в , часто используют при этом обозначение .

Пример 9. Множество всех подмножеств Ω образует σ–алгебру, если Ω конечно. Пусть . Тогда σ–алгебру образуют множества ,

Между алгеброй и σ–алгеброй существует взаимосвязь: σ–алгебра всегда является алгеброй, обратное утверждение в общем случае места не имеет. Однако, справедливо утверждение [3]: для того, чтобы алгебра F была σ–алгеброй необходимо и достаточно чтобы предел любой монотонной последовательности множеств из алгебры F принадлежал этой алгебре F.

Последовательность событий называется монотонной, если  n≥1 – неубывающая последовательность или – невозрастающая последовательность. Тогда событие в первом случае и событие – во втором называют пределом соответствующей последовательности и обозначают символом: . Событие состоит в том, что из последовательности событий происходит по крайней мере одно событие; событие состоит в том, что все события последовательности происходят одновременно.

Итак,

Пару объектов Ω и F называют измеримым пространством, обозначают символом (Ω, F).

Для формализации какой-либо вероятностной задачи надо сл. эксперименту приписать измеримое пространство (Ω, F), где Ω– пространство элементарных исходов эксперимента, σ–алгебра F выделяет класс событий – все ω–множества из Ω, не входящие в F, событиями не являются. Выделение того или иного измеримого пространства обусловлено с одной стороны существом рассматриваемой задачи, а с другой – природой множества Ω: далеко не всегда можно определить вероятностную меру на (Ω, F) так, чтобы она имела смысл для любого ω–множества из Ω.

Замечание. Подмножества пространства Ω, не являющиеся событиями, с практической точки зрения представляют собой математическую абстракцию. Само доказательство их существования представляет собой сложную задачу. Поэтому при первоначальном знакомстве с теорией вероятности будем считать, что всякое подмножество Ω входит в σ – алгебру F.