2.8. Характеристические функции

Метод характеристических функций был создан А.М. Ляпуновым для доказательства центральных предельных теорем, что и будет продемонстрировано в гл. 4 при доказательстве некоторых предельных теорем. В дальнейшем метод стал применяться для решения других вероятностных задач. В этом разделе мы рассмотрим только определение характеристических функций и некоторые из основных свойств характеристических функций, благодаря которым они находят широкое применение в теории вероятностей.

Определение. Характеристической функцией скалярной сл. величины называется функция:

(2.24)

Первая формула в (2.24) есть ничто иное как преобразование Фурье функции f(x), следовательно, закон распределения, в частности функция распределения , однозначно определяют характеристическую функцию . Верно и обратное утверждение: характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения . Последнее утверждение может быть сформулировано в виде теоремы:

Теорема (единственности). Пусть F и G две функции распределения, имеющие одну и ту же характеристическую функцию. Тогда F = G.

Явное выражение функции распределения F через характеристическую функцию g дает так называемая формула обращения. Она представляет собой разновидность обратного преобразования Фурье.

Теорема (формула обращения). Пусть F – функция распределения сл. величины и g – ее характеристическая функция. Тогда

а) для любых двух точек x и y, x>y, в которых функция F непрерывна, имеет место соотношение

; (2.25)

б) если , то функция распределения F имеет плотность распределения f и

(2.26)

Формула (2.25) справедлива и в точках разрыва функции F, если считать, что в этих точках .

Интеграл (2.26), если не выполняется условие б) теоремы, понимается в смысле главного значения.

Пример 26. Вычислить характеристическую функцию экспоненциально распределенной сл. величины.

Решение. Случайная величина  распределена по экспоненциальному закону, следовательно, , параметр распределения. Тогда

.

Пример 27. Вычислить характеристическую функцию нормально распределенной сл. величины.

Решение. Пусть  – стандартная нормальная сл. величина, Тогда

Итак, для нормального стандартного закона распределения

Пусть теперь параметры нормального закона распределения равны m и , тогда

Итак, – так выглядит характеристическая функция нормально распределенной сл. величины с параметрами m и .

Некоторые свойства характеристических функций.

1.

Это свойство может быть переписано в виде

Первое утверждение очевидно. Оценим величину так как

2. .

.

3. Характеристическая функция является функцией действительного переменного тогда и только тогда, когда распределение F симметрично (то есть ).

4. Если существует абсолютный начальный момент порядка N, то характеристическая функция сл. величины дифференцируема N раз, при этом

Так как то интеграл равномерно по u сходится, значит, его можно дифференцировать: . Если k=1, то g (u)=

Свойство 4 позволяет вычислять начальные моменты сл. величины  более просто, чем с помощью функции распределения: ,N.

5. Если существует и конечна производная характеристической функции при некотором n, то .

Тогда, согласно свойству 4, существуют моменты всех порядков до N=2n включительно и .

6. Для того чтобы сл. величины ξ и η была независимы, необходимо и достаточно чтобы характеристическая функция суммы этих сл. величин была равна произведению их характеристических функций.

Благодаря именно этому свойству характеристические функции нашли такое широкое применение в ТВ. При суммировании независимых сл. величин их плотности распределения преобразуются по формуле свертки – формулы неудобной для исследования. Гораздо проще рассмотреть произведение характеристических функций.

7. Если  = a +b, то

Действительно, =

Замечание. Используя характеристическую функцию можно вычислять и дисперсию сл. величины: знаем, что , тогда . Так, для нормального стандартного распределения

, как и следовало ожидать.

Пример 28. Рассмотрим независимые сл. величины  и , распределенные по нормальному закону с параметрами и соответственно. Тогда для сл. величин  и  их характеристические функции равны соответственно По свойству 6 характеристических функций для сл. величины =+ характеристическая функция имеет вид Но это характеристическая функция сл. величины, распределенной по нормальному закону с параметрами + и . В силу взаимно однозначного соответствия между функциями распределения и характеристическими функциями сл. величин можно утверждать, что сумма независимых нормальных сл. величин также распределена по нормальному закону с параметрами и .

Интересно, что и обратное свойство имеет место: если сумма двух независимых сл. величин имеет нормальное распределение, то и слагаемые – нормально распределенные сл. величины.