2.2. Дискретные случайные величины

Из теории меры известно, что любая неубывающая функция F(x) может быть представлена в виде суммы трёх функций: абсолютно непрерывной функции , ступенчатой функции и сингулярной функции (непрерывной функции, множество точек роста которой имеет лебегову меру нуль). Следовательно, . В реальных задачах теории вероятностей сингулярная компонента почти не встречается, она представляет собой математическую абстракцию, потому будем полагать . Остановимся на двух крайних случаях: и .

В первом случае F(x) – ступенчатая функция, имеющая в точках cкачки. Величина скачков в этих точках равна соответственно то есть Случайная величина ξ, для которой F(x) является функцией распределения, называется в этом случае дискретной случайной величиной. Числа – это те значения, которые случайная величина принимает при различных , а числа – это вероятности, с которыми сл. величина принимает соответствующие значения

Определение дискретной случайной величины можно дать и не опираясь на её функцию распределения. Случайная величина ξ называется дискретной, если она каждому элементарному исходу ставит в соответствие одно число из конечного или счётного множества чисел , причём вероятность события

Обычно дискретные случайные величины задаются рядом распределения. Это может быть таблица из двух строк, в первой, верхней, строке перечислены все возможные значения случайной величины , а во второй строке проставлены вероятности

Х	x1	x2	x3	…	xk	…	xn	…
P	р1	р2	р3	…	рk	…	рn	…

Очевидны ограничения на числа :

1) 0; 2) (2.3)

Часто вместо таблицы просто указывают для сл. величины всё множество её значений , k=1,2,… , и приводят формулу, по которой можно вычислять вероятности событий для всех . Такой способ задания дискретной сл. величины также называют рядом распределения сл. величины.

Иначе говоря, рядом распределения сл. величины называют соответствие

Если при описании случайной величины ξ применяют какую-нибудь другую её характеристику вместо функции распределения и при этом по этой характеристике возможно однозначно восстановить функцию распределения, то такая характеристика называется законом распределения случайной величины ξ или просто распределением случайной величины. Ряд распределения – это один из законов распределения случайных величин. В разделе 1.11 мы уже использовали термин «распределение» – называли гипергеометрическое распределение, распределение Бозе – Эйнштейна и т.д.

По ряду распределения можно однозначно восстановить функцию распределения:

(2.4)

Пример 1.

Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Записать функцию распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний монеты.

Решение. Обозначим суммарный выигрыш игрока после двух бросаний монеты через S; возможные значения этой сл. величины -2, 0 и 2, вероятности, с которыми эти значения принимаются сл. величиной равны соответственно. Иначе говоря, распределение сл. величины S выглядит следующим образом:

S	-2	0	2
P	0.25	0.5	0.25

Тогда

Пример 2. Техническое устройство состоит из трех узлов, работающих независимо друг от друга. Первый узел отказывает с вероятностью 0.1, второй и третий – с равными вероятностями 0.3. Устройство выходит из строя, если откажет первый узел или второй и третий вместе. Производится испытание до первого отказа, но не более 4 раз. Случайная величина Х – число произведенных испытаний. Требуется найти ряд распределения и функцию распределения сл. величины Х.

Решение. Как следует из условия задачи сл. величина Х может принимать значения Вычислим вероятности : {отказал первый узел или первый узел не отказал, но отказали второй и третий узлы} {прибор не отказал в первом испытании, но отказал во втором испытании}= 0.82·0.18≈0.15;

{прибор не отказал в первых двух испытаниях, но отказал в третьем испытании}= {прибор не отказал в первых трех испытаниях}

Построим ряд распределения для сл. величины Х:

Х	1	2	3	4
Р	0.18	0.15	0.12	0.55

Найдем по формуле (2.4) функцию распределения

Рассмотрим некоторые дискретные случайные величины, с которыми будем работать в дальнейшем.

1. В качестве самой простой дискретной сл. величины рассмотрим случайную величину, принимающую единственное значение С. Очевидно, что это значение она принимает с вероятностью, равной единице. Тогда функция распределения сл. величины имеет вид:

2. Не менее простой дискретной сл. величиной является функция, называемая индикатором события А:

.

Рассмотрим сначала один из примеров использования функции . Пусть – дискретное вероятностное пространство и ξ – некоторая сл. величина, принимающая конечное множество значений . Если положить , то ξ можно представить в виде , где события образуют разбиение пространства Ω – они попарно не пересекаются и их сумма равна Ω (т.е. это полная группа событий – см. также п.1.8).

Ряд распределения сл. величины имеет вид:

	0	1
Р

Функция же распределения выглядит следующим образом:

Пример 3. Выпадение 6 очков при бросании игральной кости назовем событием А. Тогда сл. величина принимает значение 1, если выпадает 6 очков и 0 во всех остальных случаях. Ее ряд распределения имеет вид:

	0	1
Р

а функция распределения имеет вид .

3. Распределение Бернулли. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром , если ξ принимает только два значения 1 и 0 с вероятностями p и q=1–p соответственно.

Ряд распределения этой сл. величины имеет вид

ξ	0	1
Р	q	p

а функция распределения – .

Условное обозначение распределения Бернулли – . Тот факт, что сл. величина ξ имеет распределение Бернулли, обозначается символом: или .

4. Биномиальное распределение. Обратимся к схеме Бернулли. Пусть в этом эксперименте случайная величина ξ – число успехов в серии из n независимых испытаний. Тогда случайная величина ξ может принимать значения . Вероятность события ранее обозначалась нами как P(n,k), теперь мы её будем обозначать просто через . Итак,

. (2.5)

Формула (2.5) определяет распределение дискретной случайной величины, называемое биномиальным законом распределения с параметрами распределения n, p. Для краткости биномиальное распределение обозначают символом В(n,p): имеет место распределение (2.5).

На примере этого закона распределения рассмотрим более подробно, как по нему можно однозначно восстановить функцию распределения F(x). Поскольку , то для всех событие – невозможное, значит . Если , то событие состоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых , следовательно, Если , то событие состоит из тех элементарных исходов ω, для которых или , следовательно , и т. д.

Наконец, при событие достоверное событие и Сведем результаты в одну формулу:

Очевидно, что описание случайной величины формулой (2.5) выглядит проще, чем описание ее с помощью функции распределения.

Пример 4. На зачете студент получил четыре задачи. Вероятность решить каждую задачу правильно равна 0.4. Пусть ξ – число правильно решенных задач. Описать закон распределения сл. величины .

Решение. По содержанию задачи случайная величина ξ может быть описана биномиальным законом распределения, решенная правильно задача – успех. По формуле (2.5) , это ряд распределения сл. величины ξ. Однако, в реальной задаче, когда интерес представляют значения вероятностей , ряд распределения удобно представить таблицей

	0	1	2	3	4
P	0.1296	0.3456	0.3456	0.1536	0.0256

5. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть ξ – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Предполагается, что в каждом отдельном испытании успех достигается с вероятностью р. Очевидно, что случайная величина ξ может принимать счетное множество значений k=0, 1, 2, 3, …, n, … Определим вероятность события . Если , то в первых k испытаниях появилась неудача, а в (k+1)–м испытании – успех. Как дальше будут развиваться события при изучении этой случайной величины нас не интересует. Элементарный исход выглядит в этом случае так: . Следовательно, Проверим равенство : .

Итак:

(2.6)

Случайная величина ξ с законом распределения (2.6) носит название случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром р. Для краткости закон распределения обозначают символом G(p).

Пример 5. Вероятность успешно провести физический опыт (получить ожидаемый эффект) равна 0.8. Пусть ξ – число “пустых” опытов, прежде чем экспериментатор получит ожидаемый эффект. Описать закон распределения сл. величины .

Решение. ξ – дискретная случайная величина, имеющая геометрическое распределение. Формула (2.6) полностью описывает эту случайную величину при p=0.8, это ее ряд распределения. Изобразим его в виде таблицы:

	0	1	2	3	4	….
P	0.8	0.16	0.032	0.0064	0.00128	….

Замечание. В литературе по теории вероятностей случайную величину ξ – номер первого успеха в серии из n независимых одинаковых испытаний – также считают распределенной по геометрическому закону:

Пусть ξ имеет геометрическое распределение. Тогда:

Cвойство сл. величины, выражаемое полученным равенством, называется отсутствием последействия. Его можно интерпретировать следующим образом. Пусть длительность телефонного разговора есть целочисленная величина, и в начале каждой минуты с вероятностью р принимается решение разговор закончить и с вероятностью 1–р = q принимается решение разговор продолжать. Тогда полученное равенство означает, что условная вероятность того, что разговор будет продолжаться n+m минут, если известно, что он не закончился за n минут, совпадает с вероятностью того, что разговор будет продолжаться m минут. Среди дискретных сл. величин только геометрическое распределение обладает этим свойством.

6. Пуассоновское распределение. В разделе 1.11 мы встречались с формулой Пуассона, ее не надо путать с распределением Пуассона. Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые значения с вероятностями

(2.7)

где λ >0 – параметр распределения Пуассона, это среднее значение сл. величины (см. п. 2.5). Обозначается распределение символом Ро(λ).

Равенство выполняется:

Это распределение играет важную роль в теории надежности, теории массового обслуживания и т.д.

Пример 6. При работе аппарата возникают сбои. Количество сбоев за сутки – сл. величина ξ, распределенная по закону Пуассона или Среднее число сбоев за сутки равно 1.5. Определить вероятности событий A = {в течение суток произошел хотя бы один сбой}, В = {за двое суток не будет ни одного сбоя}.

Решение. Из условия задачи и замечания к формуле (2.7) следует, что λ=1.5,

7. Гипергеометрическое распределение. С этим распределением мы также уже встречались – см. примеры 17, 40 раздела 1.