1.11. Схема бернулли

Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемой испытаний) называют эксперимент, удовлетворяющий условиям: 1) за основу берется эксперимент, имеющий 2 исхода. Это может быть, например, появление некоторого события B – один исход, говорят еще, что в результате опыта произошел «успех», и не появление этого события B – другой исход, в этом случае говорят, что в результате опыта произошла «неудача»; 2) этот исходный эксперимент повторяется независимо n раз. Термин «независимо» означает, что исходы эксперимента при очередном повторении не зависят от исходов эксперимента на предыдущих шагах; 3) вероятности двух исходов при каждом повторении исходного эксперимента одни и те же.

Итак, пусть в случайном испытании событие «успех» появляется с вероятностью p и не появляется с вероятностью q=1–p. Проводится серия таких независимых испытаний. Элементарными исходами опыта тогда будут последовательности вида УННУ…Н. Буква У на k-м месте означает, что в k-м испытании произошло событие «успех», буква Н на m месте означает, что в m-м испытании произошло событие «неудача» (не произошло события «успех»), 1≤k≤n, 1≤m≤n.

Если свести ситуацию к схеме урн, то получаем упорядоченную выборку с возвращением объема n из множества {У,Н}. Тогда .

Все элементарные исходы в каждом отдельном опыте независимы друг от друга по условию, поэтому каждому исходу всей серии опытов можно поставить в соответствие число , если в последовательности символов У и Н буква У встретилась k раз, буква Н – (n–k) раз. Типичным представителем схемы Бернулли является n–кратное подбрасывание несимметричной монеты, выпадение герба можно считать успехом, «решки» – неудачей, или наоборот. Если монета симметрична, то это тоже схема Бернулли, в которой p=q=1/2.

Пусть теперь событием A в схеме Бернулли будет событие A={в n испытаниях произошло m успехов}, m = 0, 1, 2,…, n. Вероятность события A обозначим так P(A)=P(n,m). Для вычисления вероятности события A нужно среди элементарных исходов найти благоприятствующие событию A, найти вероятности этих событий и просуммировать их. Элементарные события, благоприятствующие событию A, обозначим как , буква У в последовательности УНУУ…Н встречается ровно m раз. Вероятность такого элементарного события равна (см. выше). Число же таких элементарных событий совпадает с числом способов, которыми можно расставить m букв У по n местам, при этом все буквы У неразличимы. Очевидно, это число равно . Окончательно для вероятности P(A) имеем выражение . Итак, вероятность P (n,m) наступления m успехов в серии из n независимых одинаковых испытаний, если успех в каждом отдельном испытании наступает с вероятностью p, равна

(1.14)

и q =1–p.

Формулу (1.14) называют формулой Бернулли.

Заметим, что числа P(n,m) действительно образуют вероятности элементарных исходов , m = 1,…, n. Чтобы убедится в этом необходимо проверить равенство . Имеем .

Отметим еще, что при вычислении вероятности события A мы не использовали ни одну из формул , а воспользовались замечанием к классической вероятности о том, что если вероятности всех эл. исходов P(ω_k) известны, событие A состоит из m эл. исходов: А={ω_1,…,ω_m}, то .

Это происходит потому, что нарушено условие равновероятности (равновозможности) элементарных исходов, как в каждом отдельном испытании, так и в серии испытаний, поэтому классическое определение вероятности не работает.

Очевидно, если устранить эту причину, положив p=q=1/2, то вероятности P (n, m) можно вычислить по классической схеме: число всех элементарных исходов число элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно , отсюда .

Отметим, что события при различных значениях m в схеме Бернулли несовместны. Тогда можно вычислить вероятность появления успеха в n испытаниях не менее раз, но не более раз по формуле:

(1.15)

Далее, вероятность появления хотя бы одного успеха в серии из n независимых испытаний получаем из предыдущей формулы заменой в ней на 1 и на n:

(1.16)

Пример 45. Частица пролетает последовательно мимо 6 счетчиков, каждый из которых независимо от остальных отмечает ее пролет с вероятностью p = 0,8. Частица считается зарегистрированной (событие А), если она отмечена не менее чем двумя счетчиками. Вычислить P(A).

Решение. Для отыскания P(A) применима схема Бернулли. В серии из 6 испытаний событие A произойдет, если успех появляется в каждой последовательности УНУ…Н не менее двух раз (два и более). В каждом отдельном опыте вероятность успеха p=0.8. Такими последовательностями будут, например, такие УУНННН, УНУННН,УНУНН,…УННННУ,…,УУУННН,…,УУУУНН,…,УУУУУН,…,УУУУУУ. Обозначим через ω_k последовательность букв У и Н с k буквами У в ней. Число таких элементарных исходов ω_k равно . Тогда событие A состоит из элементарных исходов ω₂ в количестве , ω₃ в количестве , ω₄ в количестве , ω₅ в количестве и одного элементарного исхода ω₆. С использованием формулы (1.15) получим для P(A) выражение .

Задачу можно решить проще в вычислительном отношении. Вычислим сначала P( ), состоит из одного элементарного исхода ω₀ и шести элементарных исходов ω₁. Тогда Отсюда = .