Достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика функции:

Обозначим отклонение функции от касательной за .

на - кривая вогнута

на - кривая выпукла

Найдем отклонение :

Точка находится между и . Итак, отклонение , где , .

Т. Если на интервале , то кривая вогнута на ; если на , то кривая выпукла на .

(Без док-ва)

Пример: Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость: .

Решение:

Различные виды точек перегиба

Асимптоты

Вертикальная асимптота	Горизонтальная асимптота	Наклонная асимптота

Опр. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая неограниченно приближается по мере удаления в бесконечность.

Как найти асимптоты?

1. Если существует , то график имеет вертикальную асимптоту, уравнение которой .

2. Если , то кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой

3. Пусть кривая имеет наклонную асимптоту , найдем и . Кривая приближается к асимптоте, а следовательно , удобнее рассматривать отрезок , т.к. .

, тогда

Т.к. , тогда

Пример: Найти асимптоты графика функции

Решение:

1. Горизонтальная асимптота:

, горизонтальной асимптоты нет

2. Вертикальная асимптота:

- вертикальная асимптота

3. Наклонная асимптота:

- наклонная асимптота

Лекция № 34.

Тема: «Полное исследование функции и построение ее графика»

0. Если возможно, построить схематично график функции.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

3. Исследовать на непрерывность: найти точки разрыва и выяснить их характер.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти точки экстремума функции, вычислить значение функции в этих точках. Установить интервалы монотонности.

6. Найти точки перегиба графика функции. Вычислить значение функции в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости.

7. Найти контрольные точки, точки пересечения графика с осями координат.

8. Используя полученный результат, построить график функции.

Примеры:

I.

1. 

2. а). - график симметричен относительно 0.

б).

Функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция непрерывна на всей области определения, как сумма непрерывных функций.

4. Вертикальная асимптота: - вертикальных асимптот нет

Горизонтальная асимптота: - горизонтальных нет

Наклонная асимптота: - наклонных нет

5. - критические точки.

возрастает, когда

убывает, когда

5. 

5. 

x	3	4	-2	-1
y	2	18	-18	-2

II.

1. 

2. Функция ни четная, ни нечетная, т.к. не является симметричным множеством относительно 0.

3. Функция непрерывна на всей , как произведение непрерывных функций.

4. Вертикальная асимптота:

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: - горизонтальных асимптот нет.

Наклонная асимптота: - наклонных асимптот нет

5. 

возрастает при

убывает при

5.