Достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика функции:
Обозначим отклонение
функции от касательной за
.
на
- кривая вогнута
на
- кривая выпукла
Найдем отклонение :
Точка
находится между
и
.
Итак, отклонение
,
где
,
.
Т.
Если
на интервале
,
то кривая вогнута на
;
если
на
,
то кривая выпукла на
.
(Без док-ва)
Пример:
Исследовать функцию на выпуклость и
вогнутость:
.
Решение:
Различные виды точек перегиба
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоты
Вертикальная асимптота |
Горизонтальная асимптота |
Наклонная асимптота |
|
|
|
Опр. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая неограниченно приближается по мере удаления в бесконечность.
Как найти асимптоты?
Если существует
,
то график имеет вертикальную асимптоту,
уравнение которой
.Если
,
то кривая имеет горизонтальную асимптоту,
уравнение которой
Пусть кривая имеет наклонную асимптоту
,
найдем
и
.
Кривая приближается к асимптоте, а
следовательно
,
удобнее рассматривать отрезок
,
т.к.
.
,
тогда
Т.к.
,
тогда
Пример:
Найти асимптоты графика функции
Решение:
Горизонтальная асимптота:
,
горизонтальной асимптоты нет
Вертикальная асимптота:
- вертикальная
асимптота
Наклонная асимптота:
- наклонная асимптота
Лекция № 34.
Тема: «Полное исследование функции и построение ее графика»
Если возможно, построить схематично график функции.
Найти область определения функции.
Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Исследовать на непрерывность: найти точки разрыва и выяснить их характер.
Найти асимптоты графика функции.
Найти точки экстремума функции, вычислить значение функции в этих точках. Установить интервалы монотонности.
Найти точки перегиба графика функции. Вычислить значение функции в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости.
Найти контрольные точки, точки пересечения графика с осями координат.
Используя полученный результат, построить график функции.
Примеры:
I.
а). - график симметричен относительно 0.
б).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непрерывна на всей области определения, как сумма непрерывных функций.
Вертикальная асимптота:
- вертикальных асимптот нет
Горизонтальная
асимптота:
- горизонтальных нет
Наклонная асимптота:
- наклонных нет
- критические
точки.
возрастает, когда
убывает, когда
-
x
3
4
-2
-1
y
2
18
-18
-2
II.
Функция ни четная, ни нечетная, т.к.
не является симметричным множеством
относительно 0.Функция непрерывна на всей , как произведение непрерывных функций.
Вертикальная асимптота:
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальная
асимптота:
- горизонтальных асимптот нет.
Наклонная асимптота:
- наклонных асимптот нет
возрастает при
убывает при
