Экстремумы

Опр. Точка называется точкой максимума непрерывной функции , если существует такая окрестность точки , принадлежащая , в которой наибольшее значение данной функции достигается в точке , т.е. , для из окрестности точки .

Опр. Точка называется точкой минимума непрерывной функции , если существует такая окрестность точки , принадлежащая , в которой наименьшее значение данной функции достигается в точке , т.е. , для из окрестности точки .

Т. (необходимое условие экстремума): Если функция имеет в точке экстремум, то производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Док-во:

Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, достаточно применить теорему Ферма к той окрестности, о которой говорится в определении экстремума.

ч.т.д.

Замечание: Обратное утверждение неверно, например, . при , но в точке 0 экстремума нет.

Опр. Точки, в которых производная равна нулю либо не существует, называются критическими.

Опр. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Из необходимого условия экстремума следует, что подозрительными на экстремум являются критические точки.

Т. (первое достаточное условие экстремума): Если производная функции, непрерывной в точке при переходе через эту точку меняет знак, то является точкой максимума при смене “+” на “-“ и точкой минимума при смене “–“ на “+”.

(Без док-ва)

Т. (второе достаточное условие экстремума):

ТОЛЬКО ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК!

Пусть точка является стационарной для дважды дифференцируемой в окрестности этой точки функции, причем . Тогда - является точкой экстремума: точкой максимума, если , и точкой минимума, если .

(Без док-ва)

Пример: Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Существует два типа задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на отрезке . Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо:

1. найти критические точки

2. выбрать те критические точки, которые лежат внутри , и найти значение функции в этих точках

3. найти значения функции на концах отрезка, т.е. и

4. из полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

1.

2.

3.

4.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на интервале или полуинтервале.

а). На практике, особенно в геометрии, наиболее часто встречаются задачи, когда внутри рассматриваемого промежутка функция имеет только одну точку экстремума. Тогда помогает теорема:

Т. Пусть функция дифференцируема в интервале и имеет в этом интервале только одну точку экстремума - . Если - точка максимума, то - наибольшее значение функции на ; если - точка минимума, то - наименьшее значение функции на .

б). Если точек экстремума несколько, то:

1). построить график функции на и по нему сделать выбор.

2). если график построить сложно, то необходимо исследовать функцию на экстремум и исследовать поведение функции на концах промежутка, т.е. найти .

Пример: Найти наименьшее значение функции

Решение:

Лекция № 33.

Тема: «Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты».

Опр. Кривая выпукла на интервале , если она расположена ниже любой своей касательной.

Опр. Кривая вогнута на интервале , если она расположена выше любой своей касательной.